Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente verificar se a série geométrica
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries geométricas, que são aquelas em que cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão da série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série pra ficar mais fácil de entender. A série original é
. Podemos simplificar isso da seguinte maneira:
Então, a série fica:
Agora, fica claro que isso é uma série geométrica onde o primeiro termo
é
e a razão
é
.
Passo 3
Para saber se a série geométrica converge ou diverge, a gente precisa olhar para o valor da razão
. A regra básica é:
- Se
, a série convergente. - Se
, a série diverge.
No nosso caso, a razão é
. Sabemos que
, então:
Então,
, que é maior que 1.
Passo 4
Como vimos,
, isso significa que a série não atende a condição para convergir. Portanto, a série geométrica
diverge.
Resposta
A série geométrica
diverge.