Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma: sumn=1^infty pi^n3^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente verificar se a série geométrica converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries geométricas, que são aquelas em que cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série pra ficar mais fácil de entender. A série original é pi^n3^n-1 = pi cdot (pi3)^n-1 . Podemos simplificar isso da seguinte maneira:
sumn=1^infty pi cdot (pi3)^n-1
Então, a série fica:
Agora, fica claro que isso é uma série geométrica onde o primeiro termo é e a razão é .

Passo 3

Para saber se a série geométrica converge ou diverge, a gente precisa olhar para o valor da razão pi3 approx 3,143 approx 1,047 . A regra básica é:
  • Se , a série convergente.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, a razão é . Sabemos que , então:
Então, , que é maior que 1.

Passo 4

Como vimos, , isso significa que a série não atende a condição para convergir. Portanto, a série geométrica diverge.

Resposta

A série geométrica diverge.

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