Determine o volume do sólido limitado pela superfície
seny e pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está limitado pela superfície
e pelos planos
,
,
e
. A matéria que a gente vai usar aqui é de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas para calcular volumes. Vamos precisar montar uma integral tripla considerando esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. O sólido está limitado pelos planos
e
, então
varia de
a
. O
varia de
a
, e o
varia do plano
até a superfície
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
O volume do sólido é dado por
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.
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