Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = 1 + e^x seny e pelos planos x = +- 1, y = 0, y = pi e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está limitado pela superfície e pelos planos , , e . A matéria que a gente vai usar aqui é de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas para calcular volumes. Vamos precisar montar uma integral tripla considerando esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável. O sólido está limitado pelos planos e , então varia de a . O varia de a , e o varia do plano até a superfície .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

O volume do sólido é dado por

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