Se
é o círculo
com a orientação anti-horária, calcule
.
a)
b)
c)
d) 0
e)
.
a)
b)
c)
d) 0
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral
, onde
é o círculo
com orientação anti-horária. Esse exercício envolve conceitos de Cálculo Complexo, mais especificamente, integrais de contorno e teorema dos resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os polos da função dentro do círculo
e calcular seus resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função
. Polos são os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja:
Resolvendo essa equação:
Então, temos dois polos:
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses polos estão dentro do círculo
definido por
. Vamos calcular o módulo de cada polo:
Como
, ambos os polos estão dentro do círculo
.
Passo 4
Com os polos dentro de
, vamos aplicar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
Nossa função
tem polos de ordem 1 (simples), então o resíduo em cada polo
é dado por:
Passo 5
Vamos calcular o resíduo em
:
Simplificando o denominador próximo a
:
Então,
De forma similar, o resíduo em
também será 1.
Passo 6
Agora, somamos os resíduos:
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A resposta correta é a alternativa b)
.