Se C é o círculo |z|=2 com a orientação anti-horária, calcule integralC 2 z d zz^2+2.
a) 2 pi cdot i
b) 4 pi cdot i
c) -2 pi cdot i
d) 0
e) pi cdot i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral , onde é o círculo com orientação anti-horária. Esse exercício envolve conceitos de Cálculo Complexo, mais especificamente, integrais de contorno e teorema dos resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os polos da função dentro do círculo e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função z^2 + 2 = 0 . Polos são os valores de z^2 = -2 que tornam o denominador zero, ou seja:
z = pm iraiz2
Resolvendo essa equação:
Então, temos dois polos: e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses polos estão dentro do círculo |iraiz2| = raiz2 approx 1,414 definido por |-iraiz2| = raiz2 approx 1,414 . Vamos calcular o módulo de cada polo:
Como , ambos os polos estão dentro do círculo .

Passo 4

Com os polos dentro de integralC f(z) , dz = 2pi i times sum Resíduos de f(z) dentro de C , vamos aplicar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0) f(z) í
Nossa função tem polos de ordem 1 (simples), então o resíduo em cada polo é dado por:

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em Res(f, iraiz2) = limz to iraiz2 (z - iraiz2) 2 zz^2+2 :
z^2 + 2 = (z - iraiz2)(z + iraiz2)
Simplificando o denominador próximo a Res(f, iraiz2) = 2 cdot iraiz22 iraiz2 = 1 :
Então,
De forma similar, o resíduo em também será 1.

Passo 6

Agora, somamos os resíduos:
sum Resíduos = 1 + 1 = 2 í
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
integralC 2 z , dzz^2+2 = 2pi i times 2 = 4pi i

Resposta

A resposta correta é a alternativa b) .

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