Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,1) sen(x^2 y^4)2 x^6+y^6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o limite da função quando se aproxima de . Vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando sin(x^2 y^4) approx x^2 y^4 se aproxima de .
No numerador, temos . Sabemos que quando o argumento do seno é pequeno, . Então, quando está próximo de 0 e está próximo de 1, também será pequeno, e podemos aproximar:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador 2 x^6 + y^6 approx 0 + 1 = 1 quando .
Como está se aproximando de 0, se aproxima de 0. E está se aproximando de 1, então se aproxima de . Portanto:

Passo 4

Com as aproximações feitas, podemos reescrever a expressão original do limite:
lim (x, y) (0,1) sin(x^2 y^4)2 x^6+y^6 approx lim (x, y) (0,1) x^2 y^41 = lim (x, y) (0,1) x^2 y^4

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de lim (x, y) (0,1) x^2 y^4 = (0)^2 times (1)^4 = 0 times 1 = 0 quando .
Como se aproxima de 0 e se aproxima de 1:

Resposta

O limite é igual a .

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