Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando
se aproxima de
.
No numerador, temos
. Sabemos que quando o argumento do seno é pequeno,
. Então, quando
está próximo de 0 e
está próximo de 1,
também será pequeno, e podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador
quando
.
Como
está se aproximando de 0,
se aproxima de 0. E
está se aproximando de 1, então
se aproxima de
. Portanto:
Passo 4
Com as aproximações feitas, podemos reescrever a expressão original do limite:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
.
Como
se aproxima de 0 e
se aproxima de 1:
Resposta
O limite é igual a
.