Calcule a integral dupla.
integral duplai ye ^2 d A, R=[0,2] times[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla aqui! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos integrar a função nas variáveis e dentro desse retângulo definido. Para isso, vamos precisar saber como funciona a integração dupla e como aplicá-la em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Basicamente, ela nos permite calcular o “volume” sob uma superfície integral duplaR y e^2 , dA = integral0^2 ( integral0^3 y e^2 , dy ) dx sobre uma região no plano . No nosso caso, a função é .
Como a região é um retângulo , podemos separar a integral em duas integrais simples, uma em e outra em . A fórmula fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^3 y e^2 , dy :
e^2 integral0^3 y , dy
Aqui, e^2 [ y^22 ]0^3 = e^2 ( 3^22 - 0^22 ) = e^2 ( 92 ) = 9 e^22 é uma constante em relação a , então podemos tirá-lo da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos substituir na integral externa:
integral0^2 9 e^22 , dx
Aqui, 9 e^22 integral0^2 dx = 9 e^22 [ x ]0^2 = 9 e^22 (2 - 0) = 9 e^22 times 2 = 9 e^2 também é uma constante em relação a , então a integral fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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