Calcule a integral dupla.
ye
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla aqui! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
. Isso significa que vamos integrar a função
nas variáveis
e
dentro desse retângulo definido. Para isso, vamos precisar saber como funciona a integração dupla e como aplicá-la em regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Basicamente, ela nos permite calcular o “volume” sob uma superfície
sobre uma região
no plano
. No nosso caso, a função é
.
Como a região
é um retângulo
, podemos separar a integral em duas integrais simples, uma em
e outra em
. A fórmula fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirá-lo da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 4
Agora que temos o resultado da integral interna, vamos substituir na integral externa:
Aqui,
também é uma constante em relação a
, então a integral fica:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Determine o valor médio de
sobre o retângulo dado.