Calcule a integral dupla.
ye

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla aqui! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos integrar a função nas variáveis e dentro desse retângulo definido. Para isso, vamos precisar saber como funciona a integração dupla e como aplicá-la em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Basicamente, ela nos permite calcular o “volume” sob uma superfície sobre uma região no plano . No nosso caso, a função é .
Como a região é um retângulo , podemos separar a integral em duas integrais simples, uma em e outra em . A fórmula fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirá-lo da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos substituir na integral externa:
Aqui, também é uma constante em relação a , então a integral fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
8)
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
3)
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Determine o valor médio de sobre o retângulo dado.