Determine o valor médio de
sobre o retângulo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor médio da função
sobre o retângulo
. Isso envolve calcular uma média de valores da função em todo o retângulo, usando conceitos de Cálculo Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor médio de uma função em uma região. Em termos simples, é como tirar a média dos valores que a função assume em todos os pontos dessa região. A fórmula para o valor médio de uma função
sobre uma região
é:
Passo 3
Vamos calcular a área do retângulo
. A área de um retângulo é dada por:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla da função
sobre
. Como a função não depende de
, podemos simplificar a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em rela�o a
:
Passo 6
Agora, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
. Fazendo uma substituição para facilitar:
Seja
, então
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando
, que é
:
Avaliado de
a
:
Passo 9
Agora, voltando à fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio de
sobre o retângulo
é:
Exercícios relacionados
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Calcule a integral dupla.
ye
Resolva o problema de valor inicial.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Plano que contém o ponto
e os vetores diretores
e
,
Resp.:
Plano
Resp.: