Determine o valor médio de sobre o retângulo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor médio da função sobre o retângulo . Isso envolve calcular uma média de valores da função em todo o retângulo, usando conceitos de Cálculo Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor médio de uma função em uma região. Em termos simples, é como tirar a média dos valores que a função assume em todos os pontos dessa região. A fórmula para o valor médio de uma função sobre uma região é:
éÁ

Passo 3

Vamos calcular a área do retângulo . A área de um retângulo é dada por:
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla da função sobre . Como a função não depende de , podemos simplificar a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em rela�o a :

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a . Fazendo uma substituição para facilitar:
Seja , então .
Quando , .
Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando , que é :
Avaliado de a :

Passo 9

Agora, voltando à fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio de sobre o retângulo é:

Exercícios relacionados

Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Calcule a integral dupla.
ye
Resolva o problema de valor inicial.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Plano que contém o ponto e os vetores diretores e ,
Resp.: