Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcularmos a transformada inversa de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Como o denominador já está fatorado em e , podemos expressar a fração da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
Temos assim um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
Terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituindo na segunda equação:
Finalmente, lembrando que :

Passo 6

Agora que encontramos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 7

Vamos agora achar a transformada inversa de cada termo separadamente.
Primeiro, :
Sabemos que a transformada inversa de é . Então:
Segundo, :
Vamos completar o quadrado no denominador:
Então, podemos reescrever o numerador para combinar com essa forma:
Agora, a fração fica:
Sabemos que:
Aqui, e , então:

Resposta

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3)
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c)
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ye
Faça um esboço dos conjuntos a seguir: