Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
8)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcularmos a transformada inversa de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Como o denominador já está fatorado em e , podemos expressar a fração da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Temos assim um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
Terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituindo na segunda equação:
Finalmente, lembrando que :
Passo 6
Agora que encontramos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Vamos agora achar a transformada inversa de cada termo separadamente.
Primeiro, :
Sabemos que a transformada inversa de é . Então:
Segundo, :
Vamos completar o quadrado no denominador:
Então, podemos reescrever o numerador para combinar com essa forma: