Calcule a integral dupla.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde a região é o retângulo . Isso significa que varia de 0 a 2 e varia de 0 a 3. Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração dupla, integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Precisaremos aplicar regras básicas de integração e lidar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar com respeito a uma variável de cada vez. Podemos escrever:
Aqui, fixamos e integramos com respeito a de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos focar na integral interna:
Como é constante em relação a , podemos fatorá-lo para fora da integral:

Passo 4

Para integrar em relação a , fazemos a substituição . Então, , ou seja, . Substituindo, temos:
Simplificando:

Passo 5

Integrando , obtemos:
Portanto, a integral interna é:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral iterada:
Vamos integrar isso em relação a .

Passo 7

Integramos termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a regra de integração de funções exponenciais:
No nosso caso, , então:

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes da integral:

Resposta

A integral dupla vale .

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-
- + + -
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