Vamos resolver a integral dupla , onde a região é o retângulo . Isso significa que varia de 0 a 2 e varia de 0 a 3. Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração dupla, integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Precisaremos aplicar regras básicas de integração e lidar com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar com respeito a uma variável de cada vez. Podemos escrever:
Aqui, fixamos e integramos com respeito a de 0 a 2.
Passo 3
Agora, vamos focar na integral interna:
Como é constante em relação a , podemos fatorá-lo para fora da integral:
Passo 4
Para integrar em relação a , fazemos a substituição . Então, , ou seja, . Substituindo, temos:
Simplificando:
Passo 5
Integrando , obtemos:
Portanto, a integral interna é:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral iterada:
Vamos integrar isso em relação a .
Passo 7
Integramos termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a regra de integração de funções exponenciais: