Calcule a integral dupla.
integral duplaR y e^-x y d A, R=[0,2] times[0,3]

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaR y e^-x y , dA, onde a região R é o retângulo [0,2] times [0,3]. Isso significa que x varia de 0 a 2 e y varia de 0 a 3. Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração dupla, integrando primeiro em relação a x e depois em relação a y. Precisaremos aplicar regras básicas de integração e lidar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar com respeito a uma variável de cada vez. Podemos escrever:
integral0^3 ( integral0^2 y e^-x y , dx ) dy
Aqui, fixamos y e integramos com respeito a x de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos focar na integral interna:
integral0^2 y e^-x y , dx
Como y é constante em relação a x, podemos fatorá-lo para fora da integral:
y integral0^2 e^-x y , dx

Passo 4

Para integrar e^-x y em relação a x, fazemos a substituição u = -x y. Então, du = -y , dx, ou seja, dx = -duy. Substituindo, temos:
y integralu=0^u=-2y e^u ( -duy ) = y ( -1y ) integral0^-2y e^u , du
Simplificando:
- integral0^-2y e^u , du = integral-2y^0 e^u , du

Passo 5

Integrando e^u, obtemos:
e^u |-2y^0 = e^0 - e^-2y = 1 - e^-2y
Portanto, a integral interna é:
1 - e^-2y

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral iterada:
integral0^3 ( 1 - e^-2y ) dy
Vamos integrar isso em relação a y.

Passo 7

Integramos termo a termo:
integral0^3 1 , dy - integral0^3 e^-2y , dy
A primeira integral é simples:
integral0^3 1 , dy = y |0^3 = 3 - 0 = 3
Para a segunda integral, usamos a regra de integração de funções exponenciais:
integral e^a y , dy = 1a e^a y + C
No nosso caso, a = -2, então:
integral0^3 e^-2y , dy = e^-2y-2 |0^3 = -12 ( e^-6 - e^0 ) = -12 (e^-6 - 1) = 1 - e^-62

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes da integral:
3 - 1 - e^-62 = 62 - 1 - e^-62 = 6 - (1 - e^-6)2 = 5 + e^-62

Resposta

A integral dupla vale dfrac5 + e^-62.

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