Determine integral0^5 f(x, y) d x e integral0^1 f(x, y) d y.
ll 1 f(x, y)=12 x^2 y^3 & 2 f(x, y)=y+x e^y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais definidas para cada uma das funções dadas. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo de Integrais, especificamente integrais definidas de funções de duas variáveis. Vamos precisar lembrar como integrar em relação a uma variável enquanto a outra é tratada como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a primeira função: .
Vamos calcular .
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

A integral fica assim:
integral0^5 12x^2y^3 , dx
Podemos tirar o 12y^3 integral0^5 x^2 , dx de fora da integral porque é uma constante em relação a integral x^2 , dx = x^33 :
12y^3 ( 5^33 - 0^33 ) = 12y^3 ( 1253 ) = 500y^3
Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração de 0 a 5:

Passo 4

Agora, vamos calcular para a mesma função .
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 5

A integral fica assim:
integral0^1 12x^2y^3 , dy
Podemos tirar o 12x^2 integral0^1 y^3 , dy de fora da integral:
integral y^3 , dy = y^44
Integrando 12x^2 ( 1^44 - 0^44 ) = 12x^2 ( 14 ) = 3x^2 :
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Passo 6

Agora, vamos considerar a segunda função: .
Primeiro, vamos calcular .
Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 7

A integral fica assim:
integral0^5 (y + x e^y) , dx
Podemos separar a integral:
integral0^5 y , dx + integral0^5 x e^y , dx
Integrando o primeiro termo:
integral y , dx = yx g|0^5 = y cdot 5 - y cdot 0 = 5y
Para o segundo termo, como e^y integral0^5 x , dx = e^y ( x^22 g|0^5 ) = e^y ( 252 - 0 ) = 252 e^y é constante em relação a 5y + 252 e^y :
Somando os dois resultados:

Passo 8

Agora, vamos calcular para a função .
Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 9

A integral fica assim:
integral0^1 (y + x e^y) , dy
Podemos separar a integral:
integral0^1 y , dy + x integral0^1 e^y , dy
Integrando o primeiro termo:
integral y , dy = y^22 g|0^1 = 12 - 0 = 12
Para o segundo termo:
x integral e^y , dy = x e^y g|0^1 = x(e^1 - e^0) = x(e - 1)
Somando os dois resultados:
12 + x(e - 1)

Resposta

As integrais definidas são:
  1. Para integral0^5 f(x, y) , dx = 500y^3 :
    integral0^1 f(x, y) , dy = 3x^2
    integral0^5 f(x, y) , dx = 5y + 252 e^y
  2. Para integral0^1 f(x, y) , dy = 12 + x(e - 1) :

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