Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais definidas para cada uma das funções dadas. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo de Integrais, especificamente integrais definidas de funções de duas variáveis. Vamos precisar lembrar como integrar em relação a uma variável enquanto a outra é tratada como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a primeira função: .
Vamos calcular .
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 3
A integral fica assim:
Podemos tirar o de fora da integral porque é uma constante em relação a :
Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração de 0 a 5:
Passo 4
Agora, vamos calcular para a mesma função .
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 5
A integral fica assim:
Podemos tirar o de fora da integral:
Integrando :
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Passo 6
Agora, vamos considerar a segunda função: .
Primeiro, vamos calcular .
Aqui, é tratado como uma constante.
Passo 7
A integral fica assim:
Podemos separar a integral:
Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo, como e^y integral0^5 x , dx = e^y ( x^22 g|0^5 ) = e^y ( 252 - 0 ) = 252 e^y é constante em relação a 5y + 252 e^y :
Somando os dois resultados:
Passo 8
Agora, vamos calcular para a função .
Aqui, é tratado como uma constante.
Passo 9
A integral fica assim:
integral0^1 (y + x e^y) , dy
Podemos separar a integral:
integral0^1 y , dy + x integral0^1 e^y , dy
Integrando o primeiro termo:
integral y , dy = y^22 g|0^1 = 12 - 0 = 12
Para o segundo termo:
x integral e^y , dy = x e^y g|0^1 = x(e^1 - e^0) = x(e - 1)