Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais definidas para cada uma das funções dadas. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo de Integrais, especificamente integrais definidas de funções de duas variáveis. Vamos precisar lembrar como integrar em relação a uma variável enquanto a outra é tratada como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a primeira função: .
Vamos calcular .
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

A integral fica assim:
Podemos tirar o de fora da integral porque é uma constante em relação a :
Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração de 0 a 5:

Passo 4

Agora, vamos calcular para a mesma função .
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 5

A integral fica assim:
Podemos tirar o de fora da integral:
Integrando :
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Passo 6

Agora, vamos considerar a segunda função: .
Primeiro, vamos calcular .
Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 7

A integral fica assim:
Podemos separar a integral:
Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo, como é constante em relação a :
Somando os dois resultados:

Passo 8

Agora, vamos calcular para a função .
Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 9

A integral fica assim:
Podemos separar a integral:
Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando os dois resultados:

Resposta

As integrais definidas são:
  1. Para :
  2. Para :

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