Determine uma solução particular para a equação
onde são reais e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bem legal para encontrar soluções específicas quando o lado direito da equação (o “forçado”) tem uma forma que a gente consegue lidar facilmente, como senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a parte homogênea da equação é . As soluções dessa parte são combinações de senos e cossenos:
onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais. Mas a gente tá procurando uma solução particular, que é uma solução específica para a equação completa, incluindo o termo forçado .

Passo 3

Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular tenha a mesma forma, ou seja:
Aqui, e são coeficientes que precisamos encontrar. A ideia é substituir na equação original e resolver para e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos e suas derivadas na equação original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos organizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos senos e cossenos devem ser iguais nos dois lados. Então, temos o sistema:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: .
    • Se , então .
  2. Da primeira equação: .
Então, nossa solução particular fica:

Resposta

A solução particular é

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