Determine uma solução particular para a equação
onde
são reais e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bem legal para encontrar soluções específicas quando o lado direito da equação (o “forçado”) tem uma forma que a gente consegue lidar facilmente, como senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a parte homogênea da equação é
. As soluções dessa parte são combinações de senos e cossenos:
onde
e
são constantes que determinamos com as condições iniciais. Mas a gente tá procurando uma solução particular, que é uma solução específica para a equação completa, incluindo o termo forçado .
Passo 3
Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular tenha a mesma forma, ou seja:
Aqui,
e
são coeficientes que precisamos encontrar. A ideia é substituir
na equação original e resolver para
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos organizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos senos e cossenos devem ser iguais nos dois lados. Então, temos o sistema:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
-
Da segunda equação:
. - Se
, então .
- Se
-
Da primeira equação:
.
Então, nossa solução particular fica:
Resposta
A solução particular é
Exercícios relacionados
Verifique analiticamente que no MPF, se
, intervalo centrado em
, então, dado
, a seqüência
, onde
, é oscilante em torno de
.
Calcule a integral dupla.
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas: Para todo
.
Negue as seguintes proposições: Não é verdade que (3 é par ou que 5 é impar).