Determine uma solução particular para a equação
m y^prime prime+k y & =sen omega t y^prime prime+omega0^2 y & =1m sen omega t, onde omega0^2=km
onde m, k, omega são reais e m, k>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bem legal para encontrar soluções específicas quando o lado direito da equação (o “forçado”) tem uma forma que a gente consegue lidar facilmente, como senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a parte homogênea da equação é yh(t) = C1 cos(omega0 t) + C2 sen(omega0 t) . As soluções dessa parte são combinações de senos e cossenos:
onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais. Mas a gente tá procurando uma solução particular, que é uma solução específica para a equação completa, incluindo o termo forçado .

Passo 3

Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular tenha a mesma forma, ou seja:
Aqui, yp(t) = A sen omega t + B cos omega t e são coeficientes que precisamos encontrar. A ideia é substituir na equação original e resolver para e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp'(t) = A omega cos omega t - B omega sen omega t :
Agora, substituímos yp''(t) = -A omega^2 sen omega t - B omega^2 cos omega t e suas derivadas na equação original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos organizar os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo (-A omega^2 + A omega0^2) sen omega t + (-B omega^2 + B omega0^2) cos omega t = 1m sen omega t , os coeficientes dos senos e cossenos devem ser iguais nos dois lados. Então, temos o sistema:
A (omega0^2 - omega^2) = 1m B (omega0^2 - omega^2) = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: yp(t) = 1m (omega0^2 - omega^2) sen omega t .
    • Se , então .
  2. Da primeira equação: .
Então, nossa solução particular fica:

Resposta

A solução particular é

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