Verifique analiticamente que no MPF, se
, intervalo centrado em
, então, dado
, a seqüência
, onde
, é oscilante em torno de
.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede para a gente verificar que, no Método de Ponto Fixo (MPF), se a derivada de uma função
em um intervalo
centrado em
for negativa, ou seja,
para todo
em
, então, para qualquer ponto inicial
nesse intervalo, a sequência gerada por
vai oscilar em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como o MPF funciona e o que significa a derivada negativa nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Ponto Fixo. Esse método busca encontrar um valor
tal que
. Esse
é chamado de ponto fixo da função
. A ideia é começar com um palpite inicial
e iterar a função
para aproximar de
.
Passo 3
Agora, a condição
significa que a função
é decrescente no intervalo
. Isso é importante porque uma função decrescente tem a propriedade de inverter a ordem dos valores: se
, então
.
Passo 4
Vamos ver o que acontece com a sequência
iniciando em
. Como
é decrescente:
- Se
, então , ou seja, . - Se
, então , ou seja, .
Passo 5
Isso mostra que a primeira iteração
está do outro lado de
em relação a
. Vamos ver a próxima iteração:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 6
Esse comportamento continua a cada passo: cada novo termo da sequência está do lado oposto de
em relação ao termo anterior. Ou seja, a sequência está oscillando em torno de
, aproximando-se cada vez mais desse ponto fixo.
Passo 7
Para garantir que a sequência realmente converge para
, além de
, é necessário que
. Mas, mesmo sem essa condição, a oscilação em torno de
ocorre devido à natureza decrescente da função.
Resposta
Assim, verificamos que, no Método de Ponto Fixo, se a derivada
for negativa em um intervalo centrado em
, então, para qualquer
nesse intervalo, a sequência
definida por
oscila em torno de
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla.
Determine
e
.
Determine uma solução particular para a equação
onde
são reais e
.
Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas: Para todo
.