Verifique analiticamente que no MPF, se , intervalo centrado em , então, dado , a seqüência , onde , é oscilante em torno de .

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente verificar que, no Método de Ponto Fixo (MPF), se a derivada de uma função em um intervalo centrado em for negativa, ou seja, para todo em , então, para qualquer ponto inicial nesse intervalo, a sequência gerada por vai oscilar em torno de . Para resolver isso, vamos precisar entender como o MPF funciona e o que significa a derivada negativa nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Ponto Fixo. Esse método busca encontrar um valor tal que . Esse é chamado de ponto fixo da função . A ideia é começar com um palpite inicial e iterar a função para aproximar de .

Passo 3

Agora, a condição significa que a função é decrescente no intervalo . Isso é importante porque uma função decrescente tem a propriedade de inverter a ordem dos valores: se , então .

Passo 4

Vamos ver o que acontece com a sequência iniciando em . Como é decrescente:
  • Se , então , ou seja, .
  • Se , então , ou seja, .

Passo 5

Isso mostra que a primeira iteração está do outro lado de em relação a . Vamos ver a próxima iteração:
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 6

Esse comportamento continua a cada passo: cada novo termo da sequência está do lado oposto de em relação ao termo anterior. Ou seja, a sequência está oscillando em torno de , aproximando-se cada vez mais desse ponto fixo.

Passo 7

Para garantir que a sequência realmente converge para , além de , é necessário que . Mas, mesmo sem essa condição, a oscilação em torno de ocorre devido à natureza decrescente da função.

Resposta

Assim, verificamos que, no Método de Ponto Fixo, se a derivada for negativa em um intervalo centrado em , então, para qualquer nesse intervalo, a sequência definida por oscila em torno de .

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Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas: Para todo .