Questão 02 Faça o esboço de um gráfico com domínio em todos os números reais, que passe pela origem e que satisfaça as seguintes condições: (Valor: 0,50 ponto)
-
- + + -
+ - + -

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: precisamos desenhar o gráfico de uma função definida para todos os números reais que passa pela origem (0,0). Além disso, temos informações sobre as derivadas primeira ( ) e segunda ( ) em torno de e . Para resolver isso, vamos analisar como a função e suas derivadas se comportam nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar os sinais das derivadas fornecidos:
  • Derivada primeira ( ):
    • Em , : Isso significa que a função está decrescendo nesse ponto.
    • Em , : A função está crescendo nesse ponto.
  • Derivada segunda ( ):
    • Em , : A função é côncava para cima nesse ponto.
    • Em , : A função é côncava para baixo nesse ponto.

Passo 3

Com essas informações, podemos pensar em como a função se comporta:
  1. Passa pela origem (0,0): Sabemos que .
  2. Em :
    • : A função está descendo.
    • : A concavidade é para cima, indicando que a função está “abrindo para cima”.
  3. Em :
    • : A função está subindo.
    • : A concavidade é para baixo, indicando que a função está “abrindo para baixo”.

Passo 4

Para que a função atenda a todas essas condições, podemos procurar uma função polinomial que tenha essas características nas derivadas. Uma função que se encaixa é:
Vamos verificar:
  • Passa pela origem:
  • Derivada primeira:
    • Em :
    • Em :
  • Derivada segunda:
    • Em :
    • Em : (ponto de inflexão)

Resposta

Uma função que satisfaz todas as condições é:

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Questão 01 Uma quadra para prática de esportes consiste em uma região retangular com um semicírculo em cada extremidade (Figura 1). O perímetro da quadra deve ter 200 m . Encontre as dimensões que maximizem a área da região retangular. (Valor: 2,5 pontos)
Figura 1 Quadra de esportes.
Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
onde é uma constante e satisfaz:
Em seguida escreva como
com e mostre que
Determine e .
Calcule a integral dupla.