Questão 02 Faça o esboço de um gráfico com domínio em todos os números reais, que passe pela origem e que satisfaça as seguintes condições: (Valor: 0,50 ponto)
|
|
|
- | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
- | + | + | - | |||||
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+ | - | + | - |
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: precisamos desenhar o gráfico de uma função definida para todos os números reais que passa pela origem (0,0). Além disso, temos informações sobre as derivadas primeira (
) e segunda (
) em torno de
e
. Para resolver isso, vamos analisar como a função e suas derivadas se comportam nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar os sinais das derivadas fornecidos:
-
Derivada primeira (
): - Em
, : Isso significa que a função está decrescendo nesse ponto. - Em
, : A função está crescendo nesse ponto.
- Em
-
Derivada segunda (
): - Em
, : A função é côncava para cima nesse ponto. - Em
, : A função é côncava para baixo nesse ponto.
- Em
Passo 3
Com essas informações, podemos pensar em como a função se comporta:
- Passa pela origem (0,0): Sabemos que
. - Em
: -
: A função está descendo. -
: A concavidade é para cima, indicando que a função está “abrindo para cima”.
-
- Em
: -
: A função está subindo. -
: A concavidade é para baixo, indicando que a função está “abrindo para baixo”.
-
Passo 4
Para que a função atenda a todas essas condições, podemos procurar uma função polinomial que tenha essas características nas derivadas. Uma função que se encaixa é:
Vamos verificar:
- Passa pela origem:
-
- Derivada primeira:
-
- Em
: - Em
:
-
- Derivada segunda:
-
- Em
: - Em
: (ponto de inflexão)
-
Resposta
Uma função que satisfaz todas as condições é:
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Questão 01 Uma quadra para prática de esportes consiste em uma região retangular com um semicírculo em cada extremidade (Figura 1). O perímetro da quadra deve ter 200 m . Encontre as dimensões que maximizem a área da região retangular. (Valor: 2,5 pontos)
Figura 1 Quadra de esportes.
Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
¡u
onde
é uma constante e
satisfaz:
Em seguida escreva
como
com
e mostre que
Determine
e
.
Calcule a integral dupla.