Calcule a integral dupla
onde e mostre que

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla
onde a região é definida por . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. Lembrando que:
E o elemento de área se transforma em . A região em coordenadas polares fica e .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Aqui simplificamos , então a expressão dentro da integral fica mais simples.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então ou .

Passo 5

Aplicando a substituição:
Agora, avaliamos os limites de integração de a :

Passo 6

Voltando à integral original:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
À medida que cresce, tende a 0, então temos:
Portanto:

Resposta

O limite é igual a zero, ou seja, .

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,
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