Calcule a integral dupla
I(a)=integral duplaR 11+x^2+y^2 d x d y
onde R=(x, y) in R^2 lvert, x^2+y^2 <= 1a^2 e mostre que
lim a infty I(a)=0

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla
I(a) = integral duplaR 11 + x^2 + y^2 , dx , dy
onde a região é definida por . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área se transforma em . A região em coordenadas polares fica e .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
I(a) = integral0^2pi integral0^1a 11 + r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui simplificamos , então a expressão dentro da integral fica mais simples.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1a r1 + r^2 , dr :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então ou .

Passo 5

Aplicando a substituição:
integral r1 + r^2 , dr = 12 integral 1u , du = 12 ln |u| + C = 12 ln(1 + r^2) + C
Agora, avaliamos os limites de integração de 12 [ ln(1 + (1a)^2) - ln(1 + 0) ] = 12 ln(1 + 1a^2) a :

Passo 6

Voltando à integral original:
I(a) = integral0^2pi 12 ln(1 + 1a^2) , dtheta = 12 ln(1 + 1a^2) cdot integral0^2pi dtheta = 12 ln(1 + 1a^2) cdot 2pi = pi ln(1 + 1a^2)

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando lima to infty I(a) = lima to infty pi ln(1 + 1a^2) tende ao infinito:
ln(1 + 1a^2) approx 1a^2 quando a to infty
À medida que lima to infty pi ln(1 + 1a^2) = pi cdot 0 = 0 cresce, tende a 0, então temos:
Portanto:

Resposta

O limite é igual a zero, ou seja, .

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