onde a região é definida por . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas de cartesianas para polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área se transforma em . A região em coordenadas polares fica e .
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
I(a) = integral0^2pi integral0^1a 11 + r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui simplificamos , então a expressão dentro da integral fica mais simples.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1a r1 + r^2 , dr :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então ou .
Passo 5
Aplicando a substituição:
integral r1 + r^2 , dr = 12 integral 1u , du = 12 ln |u| + C = 12 ln(1 + r^2) + C
Agora, avaliamos os limites de integração de 12 [ ln(1 + (1a)^2) - ln(1 + 0) ] = 12 ln(1 + 1a^2) a :