Usando coordenadas polares, calcule: $\iint_{R} d x d y$, onde $R$ é a região limitada por $4(x-3)^{2}+$ $(y-2)^{2}=4$. Interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. A região é limitada pela equação . Basicamente, vamos encontrar a área dessa região usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a equação da região para coordenadas polares e saber como configurar a integral apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da região: . Essa é a equação de uma elipse. Normalmente, a equação de uma elipse centrada na origem é . No nosso caso, temos um centro deslocado para e os denominadores indicam os eixos da elipse.
Vamos reescrever a equação para facilitar:
Isso mostra que a elipse está centrada em , com semi-eixo maior (no eixo y) e semi-eixo menor (no eixo x).

Passo 3

Agora, como queremos usar coordenadas polares, precisamos fazer um deslocamento para centralizar a elipse na origem. Vamos fazer uma mudança de variável:
Com isso, a equação da elipse fica:
Agora, a elipse está centrada na origem no sistema de coordenadas .

Passo 4

Em coordenadas polares, as relações entre as coordenadas e são:
Substituindo na equação da elipse:
Vamos fatorar :
Portanto, a expressão para em termos de é:

Passo 5

Agora, para calcular a área da região usando coordenadas polares, a integral dupla transforma-se em:
Os limites de integração para vão de a , já que a elipse completa um ciclo completo em torno do centro. Para cada , varia de até a expressão que encontramos:

Passo 6

Vamos montar a integral:
Á
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, a integral para a área fica:
Á
Essa integral pode ser resolvida usando métodos avançados de integração, mas como estamos lidando com uma elipse, sabemos que a área dela pode ser calculada usando a fórmula padrão:
Á
Onde e são os semi-eixos.

Passo 8

Identificando os valores de e na nossa elipse:
Então, a área é:
Á

Resposta

A área da região é . Geometricamente, isso representa a área de uma elipse com semi-eixos de comprimento 1 e 2, centrada no ponto no plano cartesiano.

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377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(605,413) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 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</body></html>
Esboçe a região de integração e calcule as integrais iteradas seguintes:
<html><head></head><body><div>Determine a área da superfície: a parte da esfera <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“
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