Usando coordenadas polares, calcule:
, onde
é a região limitada por
. Interprete o resultado geometricamente.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. A região
é limitada pela equação
. Basicamente, vamos encontrar a área dessa região usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a equação da região para coordenadas polares e saber como configurar a integral apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação da região:
. Essa é a equação de uma elipse. Normalmente, a equação de uma elipse centrada na origem é
. No nosso caso, temos um centro deslocado para
e os denominadores indicam os eixos da elipse.
Vamos reescrever a equação para facilitar:
Isso mostra que a elipse está centrada em
, com semi-eixo maior
(no eixo y) e semi-eixo menor
(no eixo x).
Passo 3
Agora, como queremos usar coordenadas polares, precisamos fazer um deslocamento para centralizar a elipse na origem. Vamos fazer uma mudança de variável:
Com isso, a equação da elipse fica:
Agora, a elipse está centrada na origem
no sistema de coordenadas
.
Passo 4
Em coordenadas polares, as relações entre as coordenadas
e
são:
Substituindo na equação da elipse:
Vamos fatorar
:
Portanto, a expressão para
em termos de
é:
Passo 5
Agora, para calcular a área da região
usando coordenadas polares, a integral dupla
transforma-se em:
Os limites de integração para
vão de
a
, já que a elipse completa um ciclo completo em torno do centro. Para cada
,
varia de
até a expressão que encontramos:
Passo 6
Vamos montar a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a integral para a área fica:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos avançados de integração, mas como estamos lidando com uma elipse, sabemos que a área dela pode ser calculada usando a fórmula padrão:
Onde
e
são os semi-eixos.
Passo 8
Identificando os valores de
e
na nossa elipse:
Então, a área é:
Resposta
A área da região
é
. Geometricamente, isso representa a área de uma elipse com semi-eixos de comprimento 1 e 2, centrada no ponto
no plano cartesiano.