Usando coordenadas polares, calcule: integral duplaR d x d y, onde R é a região limitada por 4(x-3)^2+ (y-2)^2=4. Interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaR dx dy usando coordenadas polares. A região R é limitada pela equação 4(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4. Basicamente, vamos encontrar a área dessa região usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a equação da região para coordenadas polares e saber como configurar a integral apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da região: 4(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4. Essa é a equação de uma elipse. Normalmente, a equação de uma elipse centrada na origem é x^2a^2 + y^2b^2 = 1. No nosso caso, temos um centro deslocado para (3,2) e os denominadores indicam os eixos da elipse.
Vamos reescrever a equação para facilitar:
4(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4 (x-3)^21 + (y-2)^24 = 1
Isso mostra que a elipse está centrada em (3,2), com semi-eixo maior b=2 (no eixo y) e semi-eixo menor a=1 (no eixo x).

Passo 3

Agora, como queremos usar coordenadas polares, precisamos fazer um deslocamento para centralizar a elipse na origem. Vamos fazer uma mudança de variável:
u = x - 3 v = y - 2
Com isso, a equação da elipse fica:
4u^2 + v^2 = 4 u^21 + v^24 = 1
Agora, a elipse está centrada na origem (0,0) no sistema de coordenadas (u,v).

Passo 4

Em coordenadas polares, as relações entre as coordenadas (u,v) e (r,theta) são:
u = r cos theta v = r sin theta
Substituindo na equação da elipse:
(r cos theta)^21 + (r sin theta)^24 = 1 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta4 = 1
Vamos fatorar r^2:
r^2 ( cos^2 theta + sin^2 theta4 ) = 1 r^2 ( 4 cos^2 theta + sin^2 theta4 ) = 1 r^2 = 44 cos^2 theta + sin^2 theta
Portanto, a expressão para r em termos de theta é:
r = raiz 44 cos^2 theta + sin^2 theta

Passo 5

Agora, para calcular a área da região R usando coordenadas polares, a integral dupla integral duplaR dx dy transforma-se em:
integral duplaR r , dr , dtheta
Os limites de integração para theta vão de 0 a 2pi, já que a elipse completa um ciclo completo em torno do centro. Para cada theta, r varia de 0 até a expressão que encontramos:
r = raiz 44 cos^2 theta + sin^2 theta

Passo 6

Vamos montar a integral:
Área = integral0^2pi integral0^raiz 44 cos^2 theta + sin^2 theta r , dr , dtheta Á
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^raiz 44 cos^2 theta + sin^2 theta r , dr = [ r^22 ]0^raiz 44 cos^2 theta + sin^2 theta = 12 ( 44 cos^2 theta + sin^2 theta )
Simplificando:
12 cdot 44 cos^2 theta + sin^2 theta = 24 cos^2 theta + sin^2 theta

Passo 7

Agora, a integral para a área fica:
Área = integral0^2pi 24 cos^2 theta + sin^2 theta , dtheta Á
Essa integral pode ser resolvida usando métodos avançados de integração, mas como estamos lidando com uma elipse, sabemos que a área dela pode ser calculada usando a fórmula padrão:
Área da elipse = pi a b Á
Onde a e b são os semi-eixos.

Passo 8

Identificando os valores de a e b na nossa elipse:
a = 1 b = 2
Então, a área é:
Área = pi times 1 times 2 = 2pi Á

Resposta

A área da região R é 2pi. Geometricamente, isso representa a área de uma elipse com semi-eixos de comprimento 1 e 2, centrada no ponto (3,2) no plano cartesiano.

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