Dado um PVI do tipo
,
onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto
contendo o ponto
(ou seja,
), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução
para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
onde
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) de uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
O teorema de existência e unicidade nos diz que, se as funções
,
e
forem contínuas em um intervalo aberto
que contém
, então existe exatamente uma solução
nesse intervalo. Nosso objetivo é, para cada caso (a) a (f), determinar o maior intervalo possível onde essas funções são contínuas, garantindo assim a existência e unicidade da solução.
Passo 2
Caso (a):
A equação dada é:
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão dividindo por
:
Aqui, identificamos:
-
-
(já que não há termo em ) -
As funções
e
precisam ser contínuas.
é contíno para
. Como a condição inicial é em
, que é diferente de 0, o maior intervalo contínuo que não inclui 0 e contém 1 é
.
Passo 3
Caso (b):
A equação dada é:
Vamos reescrever na forma padrão dividindo por
:
Aqui:
As funções têm singularidades onde
, ou seja, em
. Como a condição inicial é em
, o maior intervalo contínuo que não inclui
e contém 0 é
.
Passo 4
Caso ©:
A equação dada é:
Vamos reescrever na forma padrão dividindo por
:
Simplificando:
As singularidades ocorrem em
e
. A condição inicial é em
, então o maior intervalo contínuo que não inclui 0 nem 4 é
.
Passo 5
Caso (d):
A equação dada é:
Aqui, as funções são:
Analisando a continuidade:
-
é contínua para todo . -
é contínuo para .
Como a condição inicial é em
, o maior intervalo contínuo que não inclui 0 é
.
Passo 6
Caso (e):
A equação dada é:
Reescrevendo na forma padrão dividindo por
:
Aqui:
As singularidades estão em
e em
(pela função logarítmica). A condição inicial é em
, então o maior intervalo contínuo que não inclui 0 nem 3 é
.
Passo 7
Caso (f):
A equação dada é:
Reescrevendo na forma padrão dividindo por
:
Aqui:
As singularidades ocorrem em
e onde
não é definida, ou seja,
para
inteiro. A condição inicial é em
. Considerando
e
, o maior intervalo contínuo que não inclui 2 nem
é
.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)