Dado um PVI do tipo
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=g(t), y(t0)=y0, y^prime(t0)=y0^prime,
onde p(t), q(t) e g(t) são funções contínuas em um intervalo aberto I subset R contendo o ponto t0 (ou seja, t0 in I ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução y=phi(t) para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
ll (a) t y^prime prime+3 y=t, & y(1)=1, y^prime(1)=2 (b) (t-1) y^prime prime-3 t y^prime+4 y=sen t, & y(0)=0, y^prime(0)=2 (c) t(t-4) y^prime prime+3 t y^prime+4 y=sen t, & y(2)=2, y^prime(2)=1 (d) y^prime prime+(cos t) y^prime+3(ln |t|) y=0, & y(2)=3, y^prime(2)=1 (e) (x-3) y^prime prime+x y^prime+(ln |x|) y=0, & y(1)=0, y^prime(1)=1 (f) (x-2) y^prime prime+y^prime+(x-2)(tg x) y=0, & y(3)=1, y^prime(3)=2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) de uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
y'' + p(t) y' + q(t) y = g(t), y(t0) = y0, y'(t0) = y'0
O teorema de existência e unicidade nos diz que, se as funções , e forem contínuas em um intervalo aberto que contém , então existe exatamente uma solução nesse intervalo. Nosso objetivo é, para cada caso (a) a (f), determinar o maior intervalo possível onde essas funções são contínuas, garantindo assim a existência e unicidade da solução.

Passo 2

Caso (a):
A equação dada é:
t y'' + 3y = t, y(1) = 1, y'(1) = 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão dividindo por y'' + 3t y = 1 :
Aqui, identificamos:
  • (já que não há termo em )
As funções e precisam ser contínuas. é contíno para . Como a condição inicial é em , que é diferente de 0, o maior intervalo contínuo que não inclui 0 e contém 1 é .

Passo 3

Caso (b):
A equação dada é:
(t - 1)y'' - 3t y' + 4y = sin t, y(0) = 0, y'(0) = 2
Vamos reescrever na forma padrão dividindo por y'' - 3tt - 1 y' + 4t - 1 y = sin tt - 1 :
Aqui:
As funções têm singularidades onde , ou seja, em . Como a condição inicial é em , o maior intervalo contínuo que não inclui e contém 0 é .

Passo 4

Caso ©:
A equação dada é:
t(t - 4) y'' + 3t y' + 4y = sin t, y(2) = 2, y'(2) = 1
Vamos reescrever na forma padrão dividindo por y'' + 3tt(t - 4) y' + 4t(t - 4) y = sin tt(t - 4) :
Simplificando:
As singularidades ocorrem em e . A condição inicial é em , então o maior intervalo contínuo que não inclui 0 nem 4 é .

Passo 5

Caso (d):
A equação dada é:
y'' + (cos t) y' + 3(ln |t|) y = 0, y(2) = 3, y'(2) = 1
Aqui, as funções são:
Analisando a continuidade:
  • é contínua para todo .
  • é contínuo para .
Como a condição inicial é em , o maior intervalo contínuo que não inclui 0 é .

Passo 6

Caso (e):
A equação dada é:
(x - 3)y'' + x y' + (ln |x|) y = 0, y(1) = 0, y'(1) = 1
Reescrevendo na forma padrão dividindo por y'' + xx - 3 y' + ln |x|x - 3 y = 0 :
Aqui:
As singularidades estão em e em (pela função logarítmica). A condição inicial é em , então o maior intervalo contínuo que não inclui 0 nem 3 é .

Passo 7

Caso (f):
A equação dada é:
(x - 2)y'' + y' + (x - 2)(tan x) y = 0, y(3) = 1, y'(3) = 2
Reescrevendo na forma padrão dividindo por y'' + 1x - 2 y' + tan x , y = 0 :
Aqui:
As singularidades ocorrem em e onde não é definida, ou seja, para inteiro. A condição inicial é em . Considerando e , o maior intervalo contínuo que não inclui 2 nem é .

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

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