Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(b) Em seguida, prove que também é solução de .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que a função é uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e propriedades das funções exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada de . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Derivando novamente em relação a :
Aqui usamos o fato de que .

Passo 4

Com a segunda derivada encontrada, substituímos e na equação diferencial :

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação , provando que é uma solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Dado um PVI do tipo
,
onde e são funções contínuas em um intervalo aberto contendo o ponto (ou seja, ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
Calcule a integral dupla
onde e mostre que
Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
c) ,
Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(f) Obtenha a fórmula de Euler.