Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(b) Em seguida, prove que também é solução de .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que a função é uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e propriedades das funções exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada de . A derivada de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Derivando novamente em relação a :
Aqui usamos o fato de que .
Passo 4
Com a segunda derivada encontrada, substituímos e na equação diferencial :
Resposta
Portanto, mostramos que satisfaz a equação , provando que é uma solução da equação diferencial dada.