Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(b) Em seguida, prove que
também é solução de
.
(b) Em seguida, prove que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que a função
é uma solução da equação diferencial
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e propriedades das funções exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Derivando
novamente em relação a
:
Aqui usamos o fato de que
.
Passo 4
Com a segunda derivada encontrada, substituímos
e
na equação diferencial
:
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação
, provando que é uma solução da equação diferencial dada.