Neste exercício iremos obter a fórmula de Euler seguindo os seguintes passos:
(b) Em seguida, prove que y = e^(i t) também é solução de y'' + y = 0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que a função é uma solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e propriedades das funções exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada de . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Derivando novamente em relação a :
Aqui usamos o fato de que .

Passo 4

Com a segunda derivada encontrada, substituímos e na equação diferencial :

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação , provando que é uma solução da equação diferencial dada.

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