Determine a área da superfície: a parte da esfera que está dentro do parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da parte da esfera que está dentro do parabolóide . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como integrais de superfície e geometria espacial. Precisaremos entender as equações da esfera e do parabolóide, encontrar onde elas se intersectam e, por fim, calcular a área da superfície desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para entender melhor sua forma. A equação dada é . Podemos reorganizar isso completando o quadrado para o termo :
Então, a esfera tem centro no ponto e raio .
Passo 3
Agora vamos olhar para o parabolóide . Esse é um parabolóide circular que abre para cima, formando uma “tigela” com seu vértice na origem .
Passo 4
Para encontrar a área da parte da esfera que está dentro do parabolóide, precisamos descobrir onde as duas superfícies se intersectam. Isso significa resolver o sistema das duas equações:
Substituindo da segunda equação na primeira:
Vamos deixar isso pronto para achar os limites da nossa integração.
Passo 5
Simplificando a equação resultante:
Isso implica que ou . A única solução válida para nossa geometria é .
Passo 6
Agora que sabemos que as duas superfícies se intersectam no círculo , podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Vamos parametrizar a esfera usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
Optando por coordenadas esféricas, onde:
Mas, para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas onde , , e .
Passo 7
Vamos expressar em termos de na esfera. Da equação da esfera:
Como estamos interessados na parte da esfera acima do parabolóide, isso nos dá os limites superiores para .
Passo 8
Para encontrar a área da superfície, usamos a fórmula para a área em coordenadas cilíndricas:
No nosso caso, . Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 9
Agora, a área fica:
Á
Primeiro, vamos calcular a integral em :
Fazendo a substituição , :
Avaliado de a :
Passo 10
Agora, integramos em :
Á
Resposta
A área da parte da esfera que está dentro do parabolóide é .