Determine a área da superfície: a parte da esfera que está dentro do parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da parte da esfera que está dentro do parabolóide . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como integrais de superfície e geometria espacial. Precisaremos entender as equações da esfera e do parabolóide, encontrar onde elas se intersectam e, por fim, calcular a área da superfície desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para entender melhor sua forma. A equação dada é . Podemos reorganizar isso completando o quadrado para o termo :
Então, a esfera tem centro no ponto e raio .

Passo 3

Agora vamos olhar para o parabolóide . Esse é um parabolóide circular que abre para cima, formando uma “tigela” com seu vértice na origem .

Passo 4

Para encontrar a área da parte da esfera que está dentro do parabolóide, precisamos descobrir onde as duas superfícies se intersectam. Isso significa resolver o sistema das duas equações:
Substituindo da segunda equação na primeira:
Vamos deixar isso pronto para achar os limites da nossa integração.

Passo 5

Simplificando a equação resultante:
Isso implica que ou . A única solução válida para nossa geometria é .

Passo 6

Agora que sabemos que as duas superfícies se intersectam no círculo , podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Vamos parametrizar a esfera usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
Optando por coordenadas esféricas, onde:
Mas, para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas onde , , e .

Passo 7

Vamos expressar em termos de na esfera. Da equação da esfera:
Como estamos interessados na parte da esfera acima do parabolóide, isso nos dá os limites superiores para .

Passo 8

Para encontrar a área da superfície, usamos a fórmula para a área em coordenadas cilíndricas:
Á
No nosso caso, . Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 9

Agora, a área fica:
Á
Primeiro, vamos calcular a integral em :
Fazendo a substituição , :
Avaliado de a :

Passo 10

Agora, integramos em :
Á

Resposta

A área da parte da esfera que está dentro do parabolóide é .

Exercícios relacionados

Usando coordenadas polares, calcule: , onde é a região limitada por . Interprete o resultado geometricamente.
Determine o Jacobiano de transformação:
Calcule a integral dupla
onde e mostre que
Dado um PVI do tipo
,
onde e são funções contínuas em um intervalo aberto contendo o ponto (ou seja, ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.