Encontrar o envelope das famílias de curvas
C^2 x + C y = 1

Passo 1

Então, galera! A gente tem uma família de curvas definida pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar o envelope dessas curvas. Basicamente, o envelope é uma curva que “encapsula” todas as curvas da família, tocando cada uma delas em pelo menos um ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas parciais, para identificar essa curva especial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação da família de curvas:
Aqui, é um parâmetro que varia, gerando diferentes curvas. O que queremos é eliminar esse parâmetro para encontrar a equação do envelope.

Passo 3

Para encontrar o envelope, a gente usa uma técnica que envolve derivar a equação da família em relação ao parâmetro . Então, vamos considerar essa equação como uma função :
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada nos ajuda a relacionar e sem o parâmetro .

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para eliminar . Da segunda equação, podemos expressar em termos de e :
Substituindo isso na primeira equação:
Agora, sabemos que (da segunda equação). Vamos substituir na equação que encontramos:

Resposta

O envelope das famílias de curvas é dado pela equação .

Exercícios relacionados