Calcule a integral dupla integral duplaR 1raizx^2+y^2 arcsen(yraizx^2+y^2) d A onde R é a região no primeiro quadrante abaixo da reta y=raiz3 x e dentro da circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
onde integral duplaR 1raizx^2+y^2 arcsen(yraizx^2+y^2) , dA é a região no primeiro quadrante abaixo da reta e dentro da circunferência .
Conteúdo: Estamos lidando com integrais duplas, especificamente na área de cálculo multivariado.
O que vamos precisar: Para resolver essa integral, será útil converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , já que a região de integração é circular e a expressão envolve , que se simplifica em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração 0 <= r <= 3 e 0 <= theta <= pi3 .
A circunferência representa um círculo com raio centro na origem. A reta tem um ângulo de ou radianos com o eixo . Como estamos no primeiro quadrante, varia de a .
Portanto, em coordenadas polares:

Passo 3

Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta e y = r sintheta
E o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é:
1raizx^2+y^2 = 1r e arcsen(yraizx^2+y^2) = arcsen(sintheta) = theta
Vamos também simplificar o integrando:
pois para .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral duplaR 1r cdot theta cdot r , dr , dtheta = integral duplaR theta , dr , dtheta
Observamos que integral0^pi3 integral0^3 theta , dr , dtheta , então a integral simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^3 theta , dr = theta integral0^3 dr = theta cdot (3 - 0) = 3theta
Agora, a integral se reduz a:
integral0^pi3 3theta , dtheta

Passo 6

Resolvendo a integral restante:
3 integral0^pi3 theta , dtheta = 3 [ theta^22 ]0^pi3 = 3 ( ( pi3 )^22 - 0 ) = 3 cdot pi^218 = pi^26

Resposta

A integral dupla vale .

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