Calcule a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante abaixo da reta
e dentro da circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante abaixo da reta
e dentro da circunferência
.
Conteúdo: Estamos lidando com integrais duplas, especificamente na área de cálculo multivariado.
O que vamos precisar: Para resolver essa integral, será útil converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, já que a região de integração é circular e a expressão envolve
, que se simplifica em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
.
A circunferência
representa um círculo com raio
centro na origem. A reta
tem um ângulo de
ou
radianos com o eixo
. Como estamos no primeiro quadrante,
varia de
a
.
Portanto, em coordenadas polares:
Passo 3
Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Vamos também simplificar o integrando:
pois para
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Observamos que
, então a integral simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral se reduz a:
Passo 6
Resolvendo a integral restante:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Determine o volume de cada uma das regiões: Região
acima do plano
, interior ao parabolóide
e exterior ao cilindro
.
Determine se a série converge ou diverge.
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
(3)
Determine o volume de cada uma das regiões: Região
delimitada pleo cone
e pelo parabolóide
.