Calcule a integral dupla onde é a região no primeiro quadrante abaixo da reta e dentro da circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
onde é a região no primeiro quadrante abaixo da reta e dentro da circunferência .
Conteúdo: Estamos lidando com integrais duplas, especificamente na área de cálculo multivariado.
O que vamos precisar: Para resolver essa integral, será útil converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , já que a região de integração é circular e a expressão envolve , que se simplifica em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração .
A circunferência representa um círculo com raio centro na origem. A reta tem um ângulo de ou radianos com o eixo . Como estamos no primeiro quadrante, varia de a .
Portanto, em coordenadas polares:

Passo 3

Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Vamos também simplificar o integrando:
pois para .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Observamos que , então a integral simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral se reduz a:

Passo 6

Resolvendo a integral restante:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Determine o volume de cada uma das regiões: Região acima do plano , interior ao parabolóide e exterior ao cilindro .
Determine se a série converge ou diverge.
(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
Determine o volume de cada uma das regiões: Região delimitada pleo cone e pelo parabolóide .