Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que ajudam a analisar o comportamento dos termos da série quando fica muito grande.

Passo 2

Vamos analisar os termos da série para entender qual parte deles domina quando aumenta. No numerador, temos e . Como exponenciais crescem mais rápido que polinomiais, domina para valores grandes de .
No denominador, temos e . Novamente, a função exponencial cresce muito mais rápido que a função linear , então domina .
Portanto, para grandes valores de , a expressão
pode ser aproximadamente simplificada para

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com uma série conhecida. A série é uma série geométrica com razão comum .
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, se . No nosso caso, , então a série geométrica converge.

Passo 4

Para confirmar se a nossa série original se comporta como a série geométrica que acabamos de analisar, podemos usar o Teste de Comparação ou o Teste da Comparação por Limites.
Vamos calcular o limite da razão entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série geométrica:
Simplificando, percebemos que:
E os outros termos, que envolvem e , tornam o limite igual a 1.

Passo 5

Já que o limite calculado é um número finito positivo (1), pelo Teste da Comparação por Limites, tanto a nossa série original quanto a série geométrica têm o mesmo comportamento de convergência.
Como a série geométrica converge, concluímos que a nossa série original também converge.

Resposta

A série
converge.

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Determine o volume de cada uma das regiões: Região acima do plano , interior ao parabolóide e exterior ao cilindro .
Calcule a integral dupla onde é a região no primeiro quadrante abaixo da reta e dentro da circunferência .