Determine se a série converge ou diverge.
43 sumn=1^infty n^2+2^nn+3^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
sumn=1^infty n^2 + 2^nn + 3^n
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que ajudam a analisar o comportamento dos termos da série quando fica muito grande.

Passo 2

Vamos analisar os termos da série para entender qual parte deles domina quando n^2 + 2^nn + 3^n aumenta. No numerador, temos 2^n3^n = (23)^n e . Como exponenciais crescem mais rápido que polinomiais, domina para valores grandes de .
No denominador, temos e . Novamente, a função exponencial cresce muito mais rápido que a função linear , então domina .
Portanto, para grandes valores de , a expressão
pode ser aproximadamente simplificada para

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com uma série conhecida. A série é uma série geométrica com razão comum .
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, se . No nosso caso, , então a série geométrica converge.

Passo 4

Para confirmar se a nossa série original se comporta como a série geométrica que acabamos de analisar, podemos usar o Teste de Comparação ou o Teste da Comparação por Limites.
Vamos calcular o limite da razão entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série geométrica:
limn to infty n^2 + 2^nn + 3^n(23)^n = limn to infty n^2 + 2^nn + 3^n cdot (32)^n
Simplificando, percebemos que:
2^n3^n cdot (32)^n = 1
E os outros termos, que envolvem e , tornam o limite igual a 1.

Passo 5

Já que o limite calculado é um número finito positivo (1), pelo Teste da Comparação por Limites, tanto a nossa série original quanto a série geométrica têm o mesmo comportamento de convergência.
Como a série geométrica converge, concluímos que a nossa série original também converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty n^2 + 2^nn + 3^n
converge.

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