Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que ajudam a analisar o comportamento dos termos da série quando
fica muito grande.
Passo 2
Vamos analisar os termos da série para entender qual parte deles domina quando
aumenta. No numerador, temos
e
. Como exponenciais crescem mais rápido que polinomiais,
domina
para valores grandes de
.
No denominador, temos
e
. Novamente, a função exponencial
cresce muito mais rápido que a função linear
, então
domina
.
Portanto, para grandes valores de
, a expressão
pode ser aproximadamente simplificada para
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com uma série conhecida. A série
é uma série geométrica com razão comum
.
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, se
. No nosso caso,
, então a série geométrica
converge.
Passo 4
Para confirmar se a nossa série original se comporta como a série geométrica que acabamos de analisar, podemos usar o Teste de Comparação ou o Teste da Comparação por Limites.
Vamos calcular o limite da razão entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série geométrica:
Simplificando, percebemos que:
E os outros termos, que envolvem
e
, tornam o limite igual a 1.
Passo 5
Já que o limite calculado é um número finito positivo (1), pelo Teste da Comparação por Limites, tanto a nossa série original quanto a série geométrica têm o mesmo comportamento de convergência.
Como a série geométrica
converge, concluímos que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Determine se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Determine o volume de cada uma das regiões: Região
acima do plano
, interior ao parabolóide
e exterior ao cilindro
.
Calcule a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante abaixo da reta
e dentro da circunferência
.