(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar a série utilizando o teste da integral. Primeiro, vamos entender que o teste da integral é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para isso, precisamos transformar o termo geral da série em uma função contínua, positiva e decrescente, e então avaliar a integral dessa função.

Passo 2

O primeiro passo é identificar a função que representa o termo geral da série. Aqui, temos:
Precisamos mostrar que essa função satisfaz as hipóteses do teste da integral, ou seja, que ela é contínua, positiva e decrescente para .

Passo 3

Continuidade: A função é contínua para todos os valores de onde o denominador não é zero. Como nunca é zero para , a função é contínua nesse intervalo.
Positividade: Para , é sempre positivo, então também é positivo.
Decrescência: Para verificar se a função é decrescente, analisamos sua derivada. Vamos considerar e calcular :
Como para todo , a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Agora que estabelecemos que é contínua, positiva e decrescente para , podemos aplicar o teste da integral. Segundo esse teste, a série converge se e somente se a integral converge.
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral fica:
Calculando o limite:

Resposta

Como a integral diverge para infinito, pelo teste da integral, a série também diverge.

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Determine o volume de cada uma das regiões: Região delimitada pleo cone e pelo parabolóide .
Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.