(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
(3)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para analisar a série
utilizando o teste da integral. Primeiro, vamos entender que o teste da integral é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para isso, precisamos transformar o termo geral da série em uma função contínua, positiva e decrescente, e então avaliar a integral dessa função.
Passo 2
O primeiro passo é identificar a função
que representa o termo geral da série. Aqui, temos:
Precisamos mostrar que essa função satisfaz as hipóteses do teste da integral, ou seja, que ela é contínua, positiva e decrescente para
.
Passo 3
Continuidade: A função
é contínua para todos os valores de
onde o denominador não é zero. Como
nunca é zero para
, a função é contínua nesse intervalo.
Positividade: Para
,
é sempre positivo, então
também é positivo.
Decrescência: Para verificar se a função é decrescente, analisamos sua derivada. Vamos considerar
e calcular
:
Como
para todo
, a função é decrescente nesse intervalo.
Passo 4
Agora que estabelecemos que
é contínua, positiva e decrescente para
, podemos aplicar o teste da integral. Segundo esse teste, a série
converge se e somente se a integral
converge.
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Alterando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Portanto, a integral fica:
Calculando o limite:
Resposta
Como a integral diverge para infinito, pelo teste da integral, a série
também diverge.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante abaixo da reta
e dentro da circunferência
.
Determine o volume de cada uma das regiões: Região
acima do plano
, interior ao parabolóide
e exterior ao cilindro
.
Determine o volume de cada uma das regiões: Região
delimitada pleo cone
e pelo parabolóide
.
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.