(a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3) sumn=1^infty 14 n+7

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar a série sumn=1^infty 14n+7 utilizando o teste da integral. Primeiro, vamos entender que o teste da integral é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Para isso, precisamos transformar o termo geral da série em uma função contínua, positiva e decrescente, e então avaliar a integral dessa função.

Passo 2

O primeiro passo é identificar a função f(n) que representa o termo geral da série. Aqui, temos:
f(n) = 14n + 7
Precisamos mostrar que essa função satisfaz as hipóteses do teste da integral, ou seja, que ela é contínua, positiva e decrescente para n >= 1.

Passo 3

Continuidade: A função f(n) = 14n + 7 é contínua para todos os valores de n onde o denominador não é zero. Como 4n + 7 nunca é zero para n >= 1, a função é contínua nesse intervalo.
Positividade: Para n >= 1, 4n + 7 é sempre positivo, então f(n) também é positivo.
Decrescência: Para verificar se a função é decrescente, analisamos sua derivada. Vamos considerar f(x) = 14x + 7 e calcular f'(x):
f'(x) = ddx(14x + 7) = -4(4x + 7)^2
Como f'(x) < 0 para todo x >= 1, a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Agora que estabelecemos que f(n) é contínua, positiva e decrescente para n >= 1, podemos aplicar o teste da integral. Segundo esse teste, a série sumn=1^infty f(n) converge se e somente se a integral integral1^infty f(x) , dx converge.
Vamos calcular a integral:
integral1^infty 14x + 7 , dx
Fazendo a substituição u = 4x + 7, temos du = 4 dx, ou seja, dx = du4. Alterando os limites de integração:
  • Quando x = 1, u = 4(1) + 7 = 11
  • Quando x to infty, u to infty
Portanto, a integral fica:
integral11^infty 1u cdot du4 = 14 integral11^infty 1u , du = 14 [ln|u|]11^infty
Calculando o limite:
14 ( limu to infty ln u - ln 11 ) = 14 (infty - ln 11) = infty

Resposta

Como a integral diverge para infinito, pelo teste da integral, a série sumn=1^infty 14n+7 também diverge.

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