Determine o volume de cada uma das regiões: Região acima do plano , interior ao parabolóide e exterior ao cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume da região que está acima do plano , dentro do parabolóide e fora do cilindro . Vamos usar cálculo de volumes, especialmente coordenadas cilíndricas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma das figuras envolvidas. O parabolóide é uma superfície parabólica que se abre para baixo e intercepta o plano quando , ou seja, quando . Isso significa que a base do parabolóide no plano é um círculo de raio 3.

Passo 3

O cilindro tem raio 1 e se estende indefinidamente ao longo do eixo . Como queremos a região exterior a esse cilindro, vamos considerar os pontos onde .

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, , e . A equação do parabolóide vira e do cilindro, .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • O ângulo varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • O raio varia de (fora do cilindro) até (onde o parabolóide intercepta o plano ).
  • A altura varia de (plano inferior) até (parabolóide superior).

Passo 6

A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o multiplicando é o fator jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integramos em :
  1. Agora, multiplicamos pelo e integramos em :
Calculando:
  1. Finalmente, integramos em :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)