Determine o volume de cada uma das regiões: Região
acima do plano
, interior ao parabolóide
e exterior ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume da região
que está acima do plano
, dentro do parabolóide
e fora do cilindro
. Vamos usar cálculo de volumes, especialmente coordenadas cilíndricas, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma das figuras envolvidas. O parabolóide
é uma superfície parabólica que se abre para baixo e intercepta o plano
quando
, ou seja, quando
. Isso significa que a base do parabolóide no plano
é um círculo de raio 3.
Passo 3
O cilindro
tem raio 1 e se estende indefinidamente ao longo do eixo
. Como queremos a região exterior a esse cilindro, vamos considerar os pontos onde
.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas,
,
e
. A equação do parabolóide vira
e do cilindro,
.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração:
- O ângulo
varia de a para cobrir toda a circunferência. - O raio
varia de (fora do cilindro) até (onde o parabolóide intercepta o plano ). - A altura
varia de (plano inferior) até (parabolóide superior).
Passo 6
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o
multiplicando é o fator jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integramos em
:
- Agora, multiplicamos pelo
e integramos em :
Calculando:
- Finalmente, integramos em
:
Resposta
O volume da região
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.
Calcule a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante abaixo da reta
e dentro da circunferência
.
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
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