Determine o volume de cada uma das regiões: Região delimitada pleo cone e pelo parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume da região que está limitada pelo cone e pelo parabolóide . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas cilíndricas, porque essas superfícies têm simetria circular, o que facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde o cone e o parabolóide se interceptam. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas onde , e . Nesse sistema, a equação do cone fica e a do parabolóide fica . Igualando as duas:
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Só consideramos a solução positiva:
Então, o raio de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . O volume da região pode ser expresso como:
Aqui:
  • varia de a (cobrindo todo o círculo).
  • varia de a (até o ponto de interseção).
  • varia do cone ( ) ao parabolóide ( ).

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
Calcule a integral dupla onde é a região no primeiro quadrante abaixo da reta e dentro da circunferência .
Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Considere a integral
onde . Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.