Determine o volume de cada uma das regiões: Região
delimitada pleo cone
e pelo parabolóide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume da região
que está limitada pelo cone
e pelo parabolóide
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas cilíndricas, porque essas superfícies têm simetria circular, o que facilita os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde o cone e o parabolóide se interceptam. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas onde
,
e
. Nesse sistema, a equação do cone fica
e a do parabolóide fica
. Igualando as duas:
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Só consideramos a solução positiva:
Então, o raio de interseção é
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. O volume
da região
pode ser expresso como:
Aqui:
-
varia de a (cobrindo todo o círculo). -
varia de a (até o ponto de interseção). -
varia do cone ( ) ao parabolóide ( ).
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume da região
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(3)
(3)
Calcule a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante abaixo da reta
e dentro da circunferência
.
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cartesianas.
Considere a integral
onde
. Escreva a integral em (1) em coordenadas cilíndricas.