Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada das funções: f(x)=e^(cos^5(4 x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a derivada da função usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais, funções trigonométricas como o cosseno, e como aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Aqui, o está elevado a . Segundo a regra da cadeia, a derivada de é vezes a derivada de . Então, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 3

Agora, vamos derivar . Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é vezes a derivada de . Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada de é . Então, para :

Resposta

Juntando tudo, a derivada de é:
Simplificando os termos:

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