Calcule a integral dupla , onde é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde é a região entre dois círculos com centro na origem e raios 2 e 5. Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo, já que a região é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares :
E o elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 3

A função que vamos integrar é . Em coordenadas polares, . Portanto, a função simplifica para .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como está entre os círculos de raios 2 e 5:
E como a região é completa ao redor do centro, varia de a :

Passo 5

Substituindo tudo na integral dupla em coordenadas polares:

Passo 6

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Portanto:
Agora, avaliamos de 2 a 5:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Como a expressão dentro dos colchetes é uma constante em relação a , a integral simplifica para:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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(7)
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