Calcule a integral dupla
, onde
é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região entre dois círculos com centro na origem e raios 2 e 5. Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo, já que a região
é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Em coordenadas polares,
. Portanto, a função simplifica para
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como
está entre os círculos de raios 2 e 5:
E como a região é completa ao redor do centro,
varia de
a
:
Passo 5
Substituindo tudo na integral dupla em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Portanto:
Agora, avaliamos de 2 a 5:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Como a expressão dentro dos colchetes é uma constante em relação a
, a integral simplifica para:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: