Calcule a integral dupla
, onde
é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região entre dois círculos com centro na origem e raios 2 e 5. Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo, já que a região
é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Em coordenadas polares,
. Portanto, a função simplifica para
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como
está entre os círculos de raios 2 e 5:
E como a região é completa ao redor do centro,
varia de
a
:
Passo 5
Substituindo tudo na integral dupla em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Portanto:
Agora, avaliamos de 2 a 5:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Como a expressão dentro dos colchetes é uma constante em relação a
, a integral simplifica para:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(7)
(7)
(RA1) Um tanque de água cilíndrico deve ser construído com a seguinte condição: o volume do tanque deve ser mantido constante em
litros. O custo de construção do tanque é determinado por dois materiais: aço para a superfície lateral e alumínio para as bases superior e inferior. O custo do aço é 4 vezes o custo do alumínio.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.