Calcule a integral dupla integral duplaR cos (raizx^2+y^2) d A, onde R é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde é a região entre dois círculos com centro na origem e raios 2 e 5. Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo, já que a região é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta para polares dA = r , dr , dtheta :
E o elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 3

A função que vamos integrar é . Em coordenadas polares, . Portanto, a função simplifica para .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como 2 <= r <= 5 está entre os círculos de raios 2 e 5:
0 <= theta <= 2pi
E como a região é completa ao redor do centro, varia de a :

Passo 5

Substituindo tudo na integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR cos(r) , dA = integral0^2pi integral2^5 cos(r) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a integral2^5 r cos(r) , dr :
u = r Rightarrow du = dr dv = cos(r) , dr Rightarrow v = sin(r)
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral r cos(r) , dr = r sin(r) - integral sin(r) , dr = r sin(r) + cos(r) + C
Portanto:
[ r sin(r) + cos(r) ]2^5 = (5 sin(5) + cos(5)) - (2 sin(2) + cos(2))
Agora, avaliamos de 2 a 5:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2pi [ (5 sin(5) + cos(5)) - (2 sin(2) + cos(2)) ] dtheta :
(5 sin(5) + cos(5) - 2 sin(2) - cos(2)) integral0^2pi dtheta = (5 sin(5) + cos(5) - 2 sin(2) - cos(2)) cdot 2pi
Como a expressão dentro dos colchetes é uma constante em relação a , a integral simplifica para:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
2pi (5 sin(5) + cos(5) - 2 sin(2) - cos(2))

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