Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se a série converge ou diverge usando o teste limite de comparação. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre séries infinitas e como comparar duas séries para determinar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma série com a qual possamos comparar a nossa. Observando o termo geral , percebemos que para valores grandes de , o se torna irrelevante em comparação com . Então, podemos simplificar a expressão para algo mais fácil de comparar:
Assim, escolhemos comparar com a série .

Passo 3

Agora, analisamos a série de comparação . Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série de comparação diverge.

Passo 4

Aplicamos o teste limite de comparação. Calculamos o limite entre os termos das duas séries:
Simplificando o limite:
Como o limite é um número positivo e finito ( ), isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.

Passo 5

Já que a série de comparação diverge e o limite é positivo e finito, pelo teste limite de comparação, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Calcule a integral dupla , onde é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .
Determine se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.