Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se a série
converge ou diverge usando o teste limite de comparação. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre séries infinitas e como comparar duas séries para determinar seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma série com a qual possamos comparar a nossa. Observando o termo geral
, percebemos que para valores grandes de
, o
se torna irrelevante em comparação com
. Então, podemos simplificar a expressão para algo mais fácil de comparar:
Assim, escolhemos comparar com a série
.
Passo 3
Agora, analisamos a série de comparação
. Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série de comparação diverge.
Passo 4
Aplicamos o teste limite de comparação. Calculamos o limite entre os termos das duas séries:
Simplificando o limite:
Como o limite é um número positivo e finito (
), isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.
Passo 5
Já que a série de comparação
diverge e o limite
é positivo e finito, pelo teste limite de comparação, a nossa série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Calcule a integral dupla
, onde
é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .
Determine se a série converge ou diverge.
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