(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve uma série infinita específica: . A gente vai usar o Teste da Integral, que faz parte do estudo de séries infinitas, para verificar se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A função que a gente está lidando é . Para usar o Teste da Integral, precisamos checar algumas coisas sobre essa função:
  1. Positiva: para todo , o que é verdade porque o logaritmo natural de é positivo quando e dividido por também é positivo.
  2. Contínua: A função é contínua para porque não tem pontas ou quebras.
  3. Decrescente: Precisamos ver se está diminuindo conforme aumenta. Observando, conforme cresce, cresce mais devagar que , então diminui.
Como todas essas condições são satisfeitas, a função verifica as hipóteses do Teste da Integral.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). O Teste da Integral diz o seguinte: se converge, então a série também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 4

Vamos montar a integral correspondente à nossa função:

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Seja , então . A integral fica:
Agora, avaliamos de 3 até o infinito:
À medida que vai para o infinito, também vai para o infinito, então também vai para o infinito.

Passo 6

Como a integral diverge (ou seja, vai para o infinito), pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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(RA1) Um tanque de água cilíndrico deve ser construído com a seguinte condição: o volume do tanque deve ser mantido constante em litros. O custo de construção do tanque é determinado por dois materiais: aço para a superfície lateral e alumínio para as bases superior e inferior. O custo do aço é 4 vezes o custo do alumínio.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.
(RA2) Dada a função , verifique se os pontos e são pontos críticos da função. Em caso afirmativo, classifique cada um deles como máximo, mínimo ou sela.
Calcule a integral dupla , onde é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.