(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(7)
(7)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve uma série infinita específica:
. A gente vai usar o Teste da Integral, que faz parte do estudo de séries infinitas, para verificar se essa série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). A função que a gente está lidando é
. Para usar o Teste da Integral, precisamos checar algumas coisas sobre essa função:
- Positiva:
para todo , o que é verdade porque o logaritmo natural de é positivo quando e dividido por também é positivo. - Contínua: A função é contínua para
porque não tem pontas ou quebras. - Decrescente: Precisamos ver se
está diminuindo conforme aumenta. Observando, conforme cresce, cresce mais devagar que , então diminui.
Como todas essas condições são satisfeitas, a função
verifica as hipóteses do Teste da Integral.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). O Teste da Integral diz o seguinte: se
converge, então a série
também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 4
Vamos montar a integral correspondente à nossa função:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Agora, avaliamos de 3 até o infinito:
À medida que
vai para o infinito,
também vai para o infinito, então
também vai para o infinito.
Passo 6
Como a integral
diverge (ou seja, vai para o infinito), pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.