(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(7)
(7)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve uma série infinita específica:
. A gente vai usar o Teste da Integral, que faz parte do estudo de séries infinitas, para verificar se essa série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). A função que a gente está lidando é
. Para usar o Teste da Integral, precisamos checar algumas coisas sobre essa função:
- Positiva:
para todo , o que é verdade porque o logaritmo natural de é positivo quando e dividido por também é positivo. - Contínua: A função é contínua para
porque não tem pontas ou quebras. - Decrescente: Precisamos ver se
está diminuindo conforme aumenta. Observando, conforme cresce, cresce mais devagar que , então diminui.
Como todas essas condições são satisfeitas, a função
verifica as hipóteses do Teste da Integral.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). O Teste da Integral diz o seguinte: se
converge, então a série
também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 4
Vamos montar a integral correspondente à nossa função:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Agora, avaliamos de 3 até o infinito:
À medida que
vai para o infinito,
também vai para o infinito, então
também vai para o infinito.
Passo 6
Como a integral
diverge (ou seja, vai para o infinito), pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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(RA1) Um tanque de água cilíndrico deve ser construído com a seguinte condição: o volume do tanque deve ser mantido constante em
litros. O custo de construção do tanque é determinado por dois materiais: aço para a superfície lateral e alumínio para as bases superior e inferior. O custo do aço é 4 vezes o custo do alumínio.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.
(RA2) Dada a função
, verifique se os pontos
e
são pontos críticos da função. Em caso afirmativo, classifique cada um deles como máximo, mínimo ou sela.
Calcule a integral dupla
, onde
é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.