Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar um teste básico de comparação para ver se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, e vamos precisar entender o teste de comparação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a constante 16 da série, já que ela não afeta a convergência. Assim, ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos focar na série dentro dos parênteses:
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
.
Passo 4
Isso significa que
vai estar entre
e
. Portanto:
Passo 5
Dividindo tudo por
, temos:
Passo 6
Agora, vamos comparar com a série
, que sabemos que converge (é uma série p com
). Já que
está sempre entre
e
, e ambas as séries comparadas convergem, podemos concluir pela comparação que nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
, onde
é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(7)
(7)
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.