Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
16 sumn=1^infty 2+cos nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar um teste básico de comparação para ver se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, e vamos precisar entender o teste de comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a constante 16 da série, já que ela não afeta a convergência. Assim, ficamos com:
16 sumn=1^infty 2+cos nn^2 = 16 ( sumn=1^infty 2+cos nn^2 )

Passo 3

Agora, vamos focar na série dentro dos parênteses: . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, .

Passo 4

Isso significa que 1 <= 2 + cos n <= 3 vai estar entre e . Portanto:

Passo 5

Dividindo tudo por 1n^2 <= 2+cos nn^2 <= 3n^2 , temos:

Passo 6

Agora, vamos comparar com a série , que sabemos que converge (é uma série p com ). Já que está sempre entre e , e ambas as séries comparadas convergem, podemos concluir pela comparação que nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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