(RA1) Um tanque de água cilíndrico deve ser construído com a seguinte condição: o volume do tanque deve ser mantido constante em
litros. O custo de construção do tanque é determinado por dois materiais: aço para a superfície lateral e alumínio para as bases superior e inferior. O custo do aço é 4 vezes o custo do alumínio.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo um tanque de água cilíndrico. A meta é descobrir as melhores dimensões (raio e altura) desse tanque para que o custo total de construção seja o menor possível. Sabemos que o volume do tanque tem que ser de 5000 litros (que vamos converter para metros cúbicos) e que usamos dois materiais com custos diferentes: aço para a parte lateral e alumínio para as bases. O aço é 4 vezes mais caro que o alumínio. Vamos precisar de conhecimentos de geometria para calcular áreas e um pouquinho de cálculo para otimizar o custo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o volume de litros para metros cúbicos, já que as dimensões estão em metros. Sabemos que 1 metro cúbico é igual a 1000 litros. Então:
Passo 3
Vamos chamar
o raio da base do cilindro e
a altura. A fórmula do volume do cilindro é:
Como o volume é constante (5 m³), podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as áreas que impactam no custo. A área lateral do cilindro é:
E cada base tem área:
Como o tanque tem duas bases (superior e inferior), a área total das bases é:
Passo 5
Vamos definir os custos. Seja
o custo por metro quadrado do alumínio. Então, o custo do aço será
.
O custo total
é a soma do custo da área lateral em aço mais o custo das bases em alumínio:
Substituindo as áreas:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Substituindo
da Passo 3 na função de custo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, para minimizar o custo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Podemos dividir ambos os lados por
(que é diferente de zero):
Passo 8
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Extraindo a raiz cúbica:
Passo 9
Calculando o valor numérico de
:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a altura
usando a expressão da Passo 3:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo total de construção do tanque são aproximadamente:
- Raio:
metros - Altura:
metros
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(RA2) Dada a função
, verifique se os pontos
e
são pontos críticos da função. Em caso afirmativo, classifique cada um deles como máximo, mínimo ou sela.
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
nunca se anula;
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(7)
(7)
Calcule a integral dupla
, onde
é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .