(RA1) Um tanque de água cilíndrico deve ser construído com a seguinte condição: o volume do tanque deve ser mantido constante em litros. O custo de construção do tanque é determinado por dois materiais: aço para a superfície lateral e alumínio para as bases superior e inferior. O custo do aço é 4 vezes o custo do alumínio.
Formule e resolva um problema de otimização para determinar as dimensões do tanque que minimizam o custo total dos materiais. Considere o raio e a altura em metros.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo um tanque de água cilíndrico. A meta é descobrir as melhores dimensões (raio e altura) desse tanque para que o custo total de construção seja o menor possível. Sabemos que o volume do tanque tem que ser de 5000 litros (que vamos converter para metros cúbicos) e que usamos dois materiais com custos diferentes: aço para a parte lateral e alumínio para as bases. O aço é 4 vezes mais caro que o alumínio. Vamos precisar de conhecimentos de geometria para calcular áreas e um pouquinho de cálculo para otimizar o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o volume de litros para metros cúbicos, já que as dimensões estão em metros. Sabemos que 1 metro cúbico é igual a 1000 litros. Então:

Passo 3

Vamos chamar o raio da base do cilindro e a altura. A fórmula do volume do cilindro é:
Como o volume é constante (5 m³), podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar :

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas que impactam no custo. A área lateral do cilindro é:
E cada base tem área:
Como o tanque tem duas bases (superior e inferior), a área total das bases é:

Passo 5

Vamos definir os custos. Seja í o custo por metro quadrado do alumínio. Então, o custo do aço será í.
O custo total é a soma do custo da área lateral em aço mais o custo das bases em alumínio:
íí
Substituindo as áreas:
íí
Podemos fatorar í:
í

Passo 6

Substituindo da Passo 3 na função de custo:
í
Simplificando:
í

Passo 7

Agora, para minimizar o custo, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
í
Podemos dividir ambos os lados por í (que é diferente de zero):

Passo 8

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por :
Extraindo a raiz cúbica:

Passo 9

Calculando o valor numérico de :

Passo 10

Agora, vamos encontrar a altura usando a expressão da Passo 3:

Resposta

As dimensões que minimizam o custo total de construção do tanque são aproximadamente:
  • Raio: metros
  • Altura: metros

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(RA2) Dada a função , verifique se os pontos e são pontos críticos da função. Em caso afirmativo, classifique cada um deles como máximo, mínimo ou sela.
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. nunca se anula;
(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(7)
Calcule a integral dupla , onde é a região entre os círculos com centro na origem e raios 2 e 5 .