Calcule a integral dupla.
, em que
é a região delimitada por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A gente precisa calcular
, onde a região
é delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar as regras de integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A curva
é o eixo
,
é uma parábola que abre para cima, e
é uma linha vertical. Então,
é a área que está abaixo da parábola
, acima do eixo
, e à esquerda da linha
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos integrando em
, primeiro vamos integrar em relação a
e depois em relação a
. Para cada valor de
,
varia de
até 1 (já que
implica
).
Passo 4
Com os limites definidos, a integral dupla fica assim:
Aqui,
vai de 0 até 1 porque no ponto onde
,
.
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar ela da integral:
Integrando
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
- Seja
então - Seja
então
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de 0 a 1:
Resposta
A integral dupla vale
.