Calcule a integral dupla.
, em que é a região delimitada por e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A gente precisa calcular , onde a região é delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar as regras de integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva é o eixo , é uma parábola que abre para cima, e é uma linha vertical. Então, é a área que está abaixo da parábola , acima do eixo , e à esquerda da linha .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos integrando em , primeiro vamos integrar em relação a e depois em relação a . Para cada valor de , varia de até 1 (já que implica ).

Passo 4

Com os limites definidos, a integral dupla fica assim:
Aqui, vai de 0 até 1 porque no ponto onde , .

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a :
Como é uma constante em relação a , podemos tirar ela da integral:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • Seja então
  • Seja então
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de 0 a 1:

Resposta

A integral dupla vale .

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o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y. constante,
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