Calcule a integral dupla.
integral duplaR x cos y d x d y, em que R é a região delimitada por y=0, y=x^2 e x=1 12(1-cos 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A gente precisa calcular , onde a região é delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar as regras de integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva é o eixo , é uma parábola que abre para cima, e é uma linha vertical. Então, é a área que está abaixo da parábola , acima do eixo , e à esquerda da linha .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos integrando em , primeiro vamos integrar em relação a e depois em relação a . Para cada valor de , varia de até 1 (já que implica ).

Passo 4

Com os limites definidos, a integral dupla fica assim:
integraly=0^1 integralx=raizy^1 x cos y , dx , dy
Aqui, vai de 0 até 1 porque no ponto onde , .

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a integralraizy^1 x cos y , dx :
cos y integralraizy^1 x , dx
Como cos y [ x^22 ]raizy^1 = cos y ( 12 - y2 ) = cos y (1 - y)2 é uma constante em relação a , podemos tirar ela da integral:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a 12 integral0^1 (1 - y) cos y , dy :
12 [ (1 - y) sin y + integral sin y , dy ]0^1 = 12 [ (1 - y) sin y + (-cos y) ]0^1
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • Seja então
  • Seja então
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de 0 a 1:
12 [ (1 - 1) sin 1 - cos 1 - ( (1 - 0) sin 0 - cos 0 ) ] = 12 (0 - cos 1 - (0 - 1)) = 12 (1 - cos 1)

Resposta

A integral dupla vale .

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