A equação
representa uma circunferência centrada na origem e de raio
. A curva descrita pela equação não representa, portanto, o gráfico de uma função. Entretanto, quando consideramos
, obtemos a função
e, quando restringimos
, temos a função
Generalizando o raciocínio acima, explicite a função
, cujo gráfico é exibido abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado tá dizendo. A equação
representa uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio
. O gráfico dessa equação não é uma função porque para alguns valores de
, temos dois valores de
(um positivo e um negativo). Mas se a gente limitar
ou
, aí sim a gente consegue definir funções. Então, vamos precisar entender como expressar isso de forma geral para obter uma função que represente a circunferência inteira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função no sentido matemático precisa que para cada valor de
exista apenas um valor de
. Na circunferência, para cada
dado, temos dois valores de
: um positivo e outro negativo. Por isso, a equação
não é uma função. Mas, como o enunciado mencionou, se a gente restringir
para ser maior que zero ou menor que zero, conseguimos definir duas funções diferentes.
Passo 3
Quando consideramos apenas
, a equação fica:
Essa é a parte superior da circunferência.
Passo 4
Por outro lado, se a gente considera apenas
, a equação fica:
Essa é a parte inferior da circunferência.
Passo 5
Agora, para juntar essas duas partes e ter uma única função que represente toda a circunferência, a gente precisa criar uma função que, dependendo do valor de
, possa assumir ambos os valores de
. Isso é feito usando uma função definida por partes, também conhecida como função peçawise.
Passo 6
Então, a função geral
que representa toda a circunferência é:
Essa função abrange tanto a parte de cima quanto a parte de baixo da circunferência.
Resposta
A função
que representa a circunferência inteira é dada por: