A equação representa uma circunferência centrada na origem e de raio . A curva descrita pela equação não representa, portanto, o gráfico de uma função. Entretanto, quando consideramos , obtemos a função e, quando restringimos , temos a função Generalizando o raciocínio acima, explicite a função , cujo gráfico é exibido abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado tá dizendo. A equação representa uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio . O gráfico dessa equação não é uma função porque para alguns valores de , temos dois valores de (um positivo e um negativo). Mas se a gente limitar ou , aí sim a gente consegue definir funções. Então, vamos precisar entender como expressar isso de forma geral para obter uma função que represente a circunferência inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função no sentido matemático precisa que para cada valor de exista apenas um valor de . Na circunferência, para cada dado, temos dois valores de : um positivo e outro negativo. Por isso, a equação não é uma função. Mas, como o enunciado mencionou, se a gente restringir para ser maior que zero ou menor que zero, conseguimos definir duas funções diferentes.

Passo 3

Quando consideramos apenas , a equação fica:
Essa é a parte superior da circunferência.

Passo 4

Por outro lado, se a gente considera apenas , a equação fica:
Essa é a parte inferior da circunferência.

Passo 5

Agora, para juntar essas duas partes e ter uma única função que represente toda a circunferência, a gente precisa criar uma função que, dependendo do valor de , possa assumir ambos os valores de . Isso é feito usando uma função definida por partes, também conhecida como função peçawise.

Passo 6

Então, a função geral que representa toda a circunferência é:
Essa função abrange tanto a parte de cima quanto a parte de baixo da circunferência.

Resposta

A função que representa a circunferência inteira é dada por:

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