Calcule a integral dupla.
, onde
. GAB:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de integrais duplas e limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela está limitada por
entre 0 e 1, e
varia de
até 3 para cada valor de
. Isso significa que para cada
,
começa em
e vai até 3.
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica assim:
Passo 4
Vamos integrar em relação a
primeiro. No entanto, a função
não tem uma primitiva elemental, então precisamos usar uma substituição ou reconhecer que essa integral está relacionada à função erro, mas para simplificar, vamos seguir com a integração direta.
Passo 5
Integrando
em relação a
, temos:
Mas para os limites de
de
a 3, a diferença fica:
No entanto, para simplificar nossos cálculos e chegar ao gabarito, vamos considerar uma abordagem mais direta.
Passo 6
Vamos trocar a ordem de integração para facilitar. Se trocarmos,
varia de 0 a 3, e para cada
,
varia de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando em relação a
primeiro, temos:
Passo 8
Agora, fazemos a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Resposta
A integral dupla é igual a
.