Calcule a integral dupla. integral duplaR e^x^2 d A, onde R=(x, y) in R^2 mid 0 <= y <= 1, 3 y <= x <= 3. GAB: e^9-16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Para isso, vamos usar conceitos de integrais duplas e limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está limitada por entre 0 e 1, e varia de até 3 para cada valor de . Isso significa que para cada , começa em e vai até 3.

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica assim:
integraly=0^1 integralx=3y^3 e^x^2 , dx , dy

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro. No entanto, a função não tem uma primitiva elemental, então precisamos usar uma substituição ou reconhecer que essa integral está relacionada à função erro, mas para simplificar, vamos seguir com a integração direta.

Passo 5

Integrando integral e^x^2 , dx = raizpi2 erfi(x) + C em relação a raizpi2 ( erfi(3) - erfi(3y) ) , temos:
Mas para os limites de de a 3, a diferença fica:
No entanto, para simplificar nossos cálculos e chegar ao gabarito, vamos considerar uma abordagem mais direta.

Passo 6

Vamos trocar a ordem de integração para facilitar. Se trocarmos, integralx=0^3 integraly=0^x3 e^x^2 , dy , dx varia de 0 a 3, e para cada , varia de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 7

Integrando em relação a integralx=0^3 e^x^2 [ y ]0^x3 , dx = integralx=0^3 e^x^2 cdot x3 , dx = 13 integral0^3 x e^x^2 , dx primeiro, temos:

Passo 8

Agora, fazemos a substituição 13 cdot 12 integralu=0^9 e^u , du = 16 [ e^u ]0^9 = 16 (e^9 - e^0) = e^9 - 16 , então ou . A integral fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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