Calcule a integral dupla. integral duplaR x y d A, onde R é a região triangular de vértices (0,0),(2,1) e (1,2). GAB: 138

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaR x y , dA, onde a região R é um triângulo com vértices em (0,0), (2,1) e (1,2). Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região triangular no plano. Para resolver isso, vamos precisar determinar os limites de integração que descrevem a região R e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o triângulo formado pelos pontos (0,0), (2,1) e (1,2). Vamos desenhar os lados do triângulo para identificar as equações das retas que delimitam a região R.

Passo 3

Vamos encontrar as equações das retas que conectam esses pontos:
  • Entre (0,0) e (2,1): A inclinação m é (1-0)/(2-0) = 1/2, então a equação é y = 12x.
  • Entre (2,1) e (1,2): A inclinação m é (2-1)/(1-2) = -1, então a equação é y = -x + 3.
  • Entre (1,2) e (0,0): A inclinação m é (2-0)/(1-0) = 2, então a equação é y = 2x.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para x e y. Observando o triângulo, vemos que x varia de 0 a 2. Para cada valor de x, y varia entre a parte de baixo da região, que é y = 12x, e a parte de cima, que é y = -x + 3 ou y = 2x, dependendo do intervalo de x.

Passo 5

Notamos que o triângulo tem uma interseção nas retas y = -x + 3 e y = 2x. Vamos encontrar o ponto de interseção resolvendo:
2x = -x + 3 Rightarrow 3x = 3 Rightarrow x = 1
Então, para 0 <= x <= 1, y varia de 12x a 2x, e para 1 <= x <= 2, y varia de 12x a -x + 3.

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral dupla como a soma de duas integrais:
integral duplaR x y , dA = integral0^1 integral12x^2x x y , dy , dx + integral1^2 integral12x^-x + 3 x y , dy , dx

Passo 7

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 integral12x^2x x y , dy , dx
Integramos em relação a y:
integral12x^2x x y , dy = x [ 12 y^2 ]12x^2x = x ( 12 (2x)^2 - 12 ( 12x )^2 ) = x ( 2x^2 - 18x^2 ) = x ( 168x^2 - 18x^2 ) = x cdot 158x^2 = 158x^3
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 158x^3 , dx = 158 [ 14x^4 ]0^1 = 158 cdot 14 = 1532

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral1^2 integral12x^-x + 3 x y , dy , dx
Integramos em relação a y:
integral12x^-x + 3 x y , dy = x [ 12 y^2 ]12x^-x + 3 = x ( 12 (-x + 3)^2 - 12 ( 12x )^2 )
Calculando os termos:
(-x + 3)^2 = x^2 - 6x + 9 e ( 12x )^2 = 14x^2
Então:
x ( 12 (x^2 - 6x + 9) - 12 cdot 14x^2 ) = x ( 12x^2 - 3x + 92 - 18x^2 ) = x ( 48x^2 - 3x + 92 - 18x^2 ) = x ( 38x^2 - 3x + 92 )
Integrando em relação a x:
integral1^2 ( 38x^3 - 3x^2 + 92x ) , dx = [ 332x^4 - x^3 + 94x^2 ]1^2
Calculando em x=2:
332(16) - (8) + 94(4) = 4832 - 8 + 9 = 32 - 8 + 9 = 32 + 1 = 52
Em x=1:
332(1) - (1) + 94(1) = 332 - 1 + 94 = 332 - 3232 + 7232 = 4332
Portanto, a segunda integral é:
52 - 4332 = 8032 - 4332 = 3732

Passo 9

Finalmente, somamos as duas integrais para obter o resultado total:
1532 + 3732 = 5232 = 138

Resposta

A integral dupla integral duplaR x y , dA sobre a região R vale 138.

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