Calcule a integral dupla. , onde é a região triangular de vértices e . GAB:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde a região é um triângulo com vértices em , e . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região triangular no plano. Para resolver isso, vamos precisar determinar os limites de integração que descrevem a região e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o triângulo formado pelos pontos , e . Vamos desenhar os lados do triângulo para identificar as equações das retas que delimitam a região .

Passo 3

Vamos encontrar as equações das retas que conectam esses pontos:
  • Entre e : A inclinação é , então a equação é .
  • Entre e : A inclinação é , então a equação é .
  • Entre e : A inclinação é , então a equação é .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . Observando o triângulo, vemos que varia de a . Para cada valor de , varia entre a parte de baixo da região, que é , e a parte de cima, que é ou , dependendo do intervalo de .

Passo 5

Notamos que o triângulo tem uma interseção nas retas e . Vamos encontrar o ponto de interseção resolvendo:
Então, para , varia de a , e para , varia de a .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral dupla como a soma de duas integrais:

Passo 7

Vamos calcular a primeira integral:
Integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda integral:
Integramos em relação a :
Calculando os termos:
Então:
Integrando em relação a :
Calculando em :
Em :
Portanto, a segunda integral é:

Passo 9

Finalmente, somamos as duas integrais para obter o resultado total:

Resposta

A integral dupla sobre a região vale .

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Calcule a integral dupla. , onde . GAB:
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