Calcule a integral dupla.
, onde
é a região triangular de vértices
e
. GAB:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
, onde a região
é um triângulo com vértices em
,
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região triangular no plano. Para resolver isso, vamos precisar determinar os limites de integração que descrevem a região
e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o triângulo formado pelos pontos
,
e
. Vamos desenhar os lados do triângulo para identificar as equações das retas que delimitam a região
.
Passo 3
Vamos encontrar as equações das retas que conectam esses pontos:
- Entre
e : A inclinação é , então a equação é . - Entre
e : A inclinação é , então a equação é . - Entre
e : A inclinação é , então a equação é .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. Observando o triângulo, vemos que
varia de
a
. Para cada valor de
,
varia entre a parte de baixo da região, que é
, e a parte de cima, que é
ou
, dependendo do intervalo de
.
Passo 5
Notamos que o triângulo tem uma interseção nas retas
e
. Vamos encontrar o ponto de interseção resolvendo:
Então, para
,
varia de
a
, e para
,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral dupla como a soma de duas integrais:
Passo 7
Vamos calcular a primeira integral:
Integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Integramos em relação a
:
Calculando os termos:
Então:
Integrando em relação a
:
Calculando em
:
Em
:
Portanto, a segunda integral é:
Passo 9
Finalmente, somamos as duas integrais para obter o resultado total:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
vale
.