Calcule a integral dupla. , onde é a região triangular de vértices e . GAB:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde a região é um triângulo com vértices em , e . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região triangular no plano. Para resolver isso, vamos precisar determinar os limites de integração que descrevem a região e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o triângulo formado pelos pontos , e . Vamos desenhar os lados do triângulo para identificar as equações das retas que delimitam a região .
Passo 3
Vamos encontrar as equações das retas que conectam esses pontos:
Entre e : A inclinação é , então a equação é .
Entre e : A inclinação é , então a equação é .
Entre e : A inclinação é , então a equação é .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para e . Observando o triângulo, vemos que varia de a . Para cada valor de , varia entre a parte de baixo da região, que é , e a parte de cima, que é ou , dependendo do intervalo de .
Passo 5
Notamos que o triângulo tem uma interseção nas retas e . Vamos encontrar o ponto de interseção resolvendo:
Então, para , varia de a , e para , varia de a .
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral dupla como a soma de duas integrais:
Passo 7
Vamos calcular a primeira integral:
Integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Passo 8
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Integramos em relação a :
Calculando os termos:
Então:
Integrando em relação a :
Calculando em :
Em :
Portanto, a segunda integral é:
Passo 9
Finalmente, somamos as duas integrais para obter o resultado total: