Calcule a integral dupla. , onde . GAB:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região está definida por e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Podemos escolher a ordem de integração, mas aqui vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Assim, a integral fica:

Passo 3

Observe que, ao integrar em relação a , os termos e são constantes. Então, podemos reescrever a integral interna assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna . Para isso, fazemos uma substituição:
  • Seja , então .
  • Isso significa que .
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de a :

Passo 6

Substituindo de volta na integral externa, temos:

Passo 7

Agora, precisamos calcular . Vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 8

Vamos agora avaliar essa antiderivada nos limites de a :

Passo 9

Finalmente, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

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.