Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região está definida por e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Podemos escolher a ordem de integração, mas aqui vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Assim, a integral fica:
Passo 3
Observe que, ao integrar em relação a , os termos e são constantes. Então, podemos reescrever a integral interna assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então .
Isso significa que .
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de a :
Passo 6
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Passo 7
Agora, precisamos calcular . Vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ():
Passo 8
Vamos agora avaliar essa antiderivada nos limites de a :
Passo 9
Finalmente, substituímos esse resultado na integral externa: