Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região está definida por e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Podemos escolher a ordem de integração, mas aqui vamos integrar primeiro em relação a integral0^pi2 integral0^12 x y sen x1 + 4 y^2 , dy , dx e depois em relação a . Assim, a integral fica:
Passo 3
Observe que, ao integrar em relação a integral0^pi2 x sen x ( integral0^12 y1 + 4 y^2 , dy ) dx , os termos e são constantes. Então, podemos reescrever a integral interna assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna integral 1u cdot du8 = 18 ln |u| + C = 18 ln (1 + 4 y^2) + C . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então .
Isso significa que .
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de [ 18 ln (1 + 4 y^2) ]0^12 = 18 ln (1 + 4 (12)^2) - 18 ln(1 + 0) = 18 ln 2 a :
Passo 6
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Passo 7
Agora, precisamos calcular . Vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
integral x sen x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sen x + C
Aplicando a fórmula de integração por partes ():
Passo 8
Vamos agora avaliar essa antiderivada nos limites de [ -x cos x + sen x ]0^pi2 = -pi2 cos (pi2) + sen (pi2) - (0 + 0) = 0 + 1 - 0 = 1 a :
Passo 9
Finalmente, substituímos esse resultado na integral externa: