Calcule a integral dupla. integral duplaR x y sen x1+4 y^2 d A, onde R=(x, y) in R^2 lvert, 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= 12. GAB: ln 28

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região está definida por e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Podemos escolher a ordem de integração, mas aqui vamos integrar primeiro em relação a integral0^pi2 integral0^12 x y sen x1 + 4 y^2 , dy , dx e depois em relação a . Assim, a integral fica:

Passo 3

Observe que, ao integrar em relação a integral0^pi2 x sen x ( integral0^12 y1 + 4 y^2 , dy ) dx , os termos e são constantes. Então, podemos reescrever a integral interna assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna integral 1u cdot du8 = 18 ln |u| + C = 18 ln (1 + 4 y^2) + C . Para isso, fazemos uma substituição:
  • Seja , então .
  • Isso significa que .
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de [ 18 ln (1 + 4 y^2) ]0^12 = 18 ln (1 + 4 (12)^2) - 18 ln(1 + 0) = 18 ln 2 a :

Passo 6

Substituindo de volta na integral externa, temos:

Passo 7

Agora, precisamos calcular . Vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
  • integral x sen x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sen x + C
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 8

Vamos agora avaliar essa antiderivada nos limites de [ -x cos x + sen x ]0^pi2 = -pi2 cos (pi2) + sen (pi2) - (0 + 0) = 0 + 1 - 0 = 1 a :

Passo 9

Finalmente, substituímos esse resultado na integral externa:
ln 28 cdot 1 = ln 28

Resposta

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