Calcule o volume do sólido
. GAB:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido pelas condições
,
e
. Isso envolve o conceito de integral tripla em cálculo multivariável, onde a gente integra uma função sobre uma região no espaço 3D para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. As variáveis
e
variam de 0 a 1, então podemos imaginar uma base quadrada no plano
. Para cada ponto
nesse quadrado, o valor de
varia de 1 até
. Isso significa que a altura do sólido em cada ponto
é
.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos integrar essa altura sobre toda a área da base. A fórmula para o volume
será:
Passo 4
Vamos resolver a integração em
primeiro. Integramos
e
em relação a
:
Então, a integral em
resulta em
.
Passo 5
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Separando as integrais:
Calculando cada uma:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido
é
.