Calcule o volume do sólido . GAB:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido pelas condições , e . Isso envolve o conceito de integral tripla em cálculo multivariável, onde a gente integra uma função sobre uma região no espaço 3D para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. As variáveis e variam de 0 a 1, então podemos imaginar uma base quadrada no plano . Para cada ponto nesse quadrado, o valor de varia de 1 até . Isso significa que a altura do sólido em cada ponto é .

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos integrar essa altura sobre toda a área da base. A fórmula para o volume será:

Passo 4

Vamos resolver a integração em primeiro. Integramos e em relação a :
Então, a integral em resulta em .

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a :
Separando as integrais:
Calculando cada uma:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é .

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Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
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Resposta: .