Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método das transformadas de Laplace. O que precisamos aqui é entender como aplicar as transformadas de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais para achar a solução. A equação que temos é com a condição inicial .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma derivada, como , é , onde é a transformada de .
Passo 3
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo:
Passo 4
Agora, substituímos a condição inicial na equação:
Expandindo:
Passo 5
Vamos juntar os termos com :
Para simplificar, reescrevemos 5 como :
Passo 6
Agora, isolamos :
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da transformada.
Passo 7
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 8
Escolhemos valores de para encontrar e . Primeiro, :
Agora, :
Passo 9
Substituindo e na expressão de :
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace: