Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método das transformadas de Laplace. O que precisamos aqui é entender como aplicar as transformadas de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais para achar a solução. A equação que temos é com a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma derivada, como , é , onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando a transformada na equação:
Substituindo:

Passo 4

Agora, substituímos a condição inicial na equação:
Expandindo:

Passo 5

Vamos juntar os termos com :
Para simplificar, reescrevemos 5 como :

Passo 6

Agora, isolamos :
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da transformada.

Passo 7

Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Escolhemos valores de para encontrar e . Primeiro, :
Agora, :

Passo 9

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule o volume do sólido . GAB:
Calcule a integral dupla. , onde . GAB:
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta: .
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resposta: .