Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método das transformadas de Laplace. O que precisamos aqui é entender como aplicar as transformadas de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais para achar a solução. A equação que temos é
com a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de uma derivada, como
, é
, onde
é a transformada de
.
Passo 3
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo:
Passo 4
Agora, substituímos a condição inicial
na equação:
Expandindo:
Passo 5
Vamos juntar os termos com
:
Para simplificar, reescrevemos 5 como
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da transformada.
Passo 7
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Escolhemos valores de
para encontrar
e
. Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 9
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é: