Calcule a integral dupla. , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde a região é o retângulo . Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Para resolver isso, precisamos entender como funciona a integração dupla e como aplicá-la em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma iterada. Dado que , podemos expressar a integral como:
Aqui, estamos integrando primeiro em de a , e depois em de a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, ou seja, a integral em :
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher e .

Passo 4

Calculando e :
Para encontrar , integramos :
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Substituindo :
E substituindo :
Então, a integral interna resulta em:

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a de a :
Essa integral pode ser um pouco complexa, mas podemos reconhecer que ela envolve funções que não possuem antiderivadas elementares. Portanto, podemos avaliar numericamente ou deixar a resposta expressa dessa forma.

Resposta

A integral dupla , onde , é igual a:

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