Calcule a integral dupla. integral duplaR y sin (x y) d A, onde R=[1,2] times[0 pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR y sin (x y) d A, onde a região R é o retângulo [1,2] times [0, pi]. Isso significa que vamos integrar a função y sin(xy) primeiro em relação a y e depois em relação a x, ou vice-versa. Para resolver isso, precisamos entender como funciona a integração dupla e como aplicá-la em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma iterada. Dado que R = [1,2] times [0, pi], podemos expressar a integral como:
integralx=1^2 integraly=0^pi y sin(xy) , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em y de 0 a pi, e depois em x de 1 a 2.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, ou seja, a integral em y:
integral0^pi y sin(xy) , dy
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = y e dv = sin(xy) , dy.

Passo 4

Calculando du e v:
du = dy
Para encontrar v, integramos dv:
v = integral sin(xy) , dy = -cos(xy)x
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral y sin(xy) , dy = y (-cos(xy)x) - integral (-cos(xy)x) , dy
Simplificando:
= -y cos(xy)x + 1x integral cos(xy) , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral cos(xy) , dy = sin(xy)x
Substituindo de volta:
-y cos(xy)x + 1x cdot sin(xy)x = -y cos(xy)x + sin(xy)x^2

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
[-y cos(xy)x + sin(xy)x^2]0^pi
Substituindo y = pi:
-pi cos(xpi)x + sin(xpi)x^2
E substituindo y = 0:
-0 cos(0)x + sin(0)x^2 = 0
Então, a integral interna resulta em:
-pi cos(xpi)x + sin(xpi)x^2

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a x de 1 a 2:
integral1^2 ( -pi cos(xpi)x + sin(xpi)x^2 ) dx
Essa integral pode ser um pouco complexa, mas podemos reconhecer que ela envolve funções que não possuem antiderivadas elementares. Portanto, podemos avaliar numericamente ou deixar a resposta expressa dessa forma.

Resposta

A integral dupla integral duplaR y sin (x y) d A, onde R=[1,2] times[0, pi], é igual a:
integral1^2 ( -pi cos(xpi)x + sin(xpi)x^2 ) dx

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