Calcule a integral dupla.
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é o retângulo
. Isso significa que vamos integrar a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Para resolver isso, precisamos entender como funciona a integração dupla e como aplicá-la em regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma iterada. Dado que
, podemos expressar a integral como:
Aqui, estamos integrando primeiro em
de
a
, e depois em
de
a
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, ou seja, a integral em
:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Para encontrar
, integramos
:
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral restante:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Substituindo
:
E substituindo
:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Essa integral pode ser um pouco complexa, mas podemos reconhecer que ela envolve funções que não possuem antiderivadas elementares. Portanto, podemos avaliar numericamente ou deixar a resposta expressa dessa forma.
Resposta
A integral dupla
, onde
, é igual a:
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f) .
f)
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é
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(a) Encontre a temperatura .
é
(a) Encontre a temperatura