Considere a curva regular . Para que valor de a curvatura de é a máxima?

Passo 1

Vamos lá! Temos a curva e queremos descobrir para qual valor de a curvatura dessa curva é a maior. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular derivadas primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva:

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras derivadas em relação a :

Passo 4

Seguimos calculando as segundas derivadas:

Passo 5

A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada é dada por:
Vamos substituir os valores que encontramos nas derivadas.

Passo 6

Substituindo na fórmula:

Passo 7

Queremos maximizar a curvatura . Como o numerador é constante e positivo, para maximizar precisamos minimizar o denominador . Na verdade, basta minimizar .

Passo 8

A expressão é mínima quando é mínima. Isso acontece quando , ou seja, quando .

Resposta

O valor de que faz a curvatura da curva ser máxima é .

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Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
(UFPEL) Observando-se a variação da elongação A (acréscimo de comprimento em cm) de uma mola, em função de uma força F (em N ) aplicada sobre a mola, obtiveram-se os resultados que podem ser representados pela função linear a seguir. Nessas condições, se , pode-se afirmar que cada aumento de na força corresponde a um aumento na elongação de:
a)
b)
c)
d)
e)
Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
Calcule a integral dupla. , onde .