Considere a curva regular alpha(t) = (t, t^2 - 4t - 3). Para que valor de t a curvatura de alpha é a máxima?

Passo 1

Vamos lá! Temos a curva e queremos descobrir para qual valor de t a curvatura dessa curva é a maior. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular derivadas primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva:

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras derivadas em relação a t:

Passo 4

Seguimos calculando as segundas derivadas:

Passo 5

A fórmula da curvatura kappa(t) para uma curva parametrizada é dada por:
Vamos substituir os valores que encontramos nas derivadas.

Passo 6

Substituindo na fórmula:

Passo 7

Queremos maximizar a curvatura kappa(t). Como o numerador é constante e positivo, para maximizar kappa(t) precisamos minimizar o denominador . Na verdade, basta minimizar .

Passo 8

A expressão é mínima quando é mínima. Isso acontece quando , ou seja, quando .

Resposta

O valor de t que faz a curvatura da curva alpha(t) ser máxima é .

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