Considere a curva regular
. Para que valor de
a curvatura de
é a máxima?
Passo 1
Vamos lá! Temos a curva
e queremos descobrir para qual valor de
a curvatura dessa curva é a maior. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular derivadas primeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva:
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras derivadas em relação a
:
Passo 4
Seguimos calculando as segundas derivadas:
Passo 5
A fórmula da curvatura
para uma curva parametrizada é dada por:
Vamos substituir os valores que encontramos nas derivadas.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Queremos maximizar a curvatura
. Como o numerador é constante e positivo, para maximizar
precisamos minimizar o denominador
. Na verdade, basta minimizar
.
Passo 8
A expressão
é mínima quando
é mínima. Isso acontece quando
, ou seja, quando
.
Resposta
O valor de
que faz a curvatura da curva
ser máxima é
.