Considere uma barra de com 40 cm de comprimento cuja distribuição de temperatura inicial
é
. Suponha que e que ambas as extremidades da barra estão isoladas.
(a) Encontre a temperatura .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a temperatura em uma barra de 40 cm de comprimento. A distribuição inicial de temperatura é dada por para . Além disso, sabemos que e que as extremidades da barra estão isoladas, ou seja, não há troca de calor nessas pontas. Para resolver isso, vamos usar a equação do calor com condições de contorno de Neumann (isoladas).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do calor unidimensional:
Como , fica:
Essa equação descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço na barra.

Passo 3

As condições de contorno são de Neumann, o que significa que a derivada espacial da temperatura nas extremidades é zero:
Isso indica que não há fluxo de calor nas pontas da barra.

Passo 4

Agora, para resolver a equação do calor com essas condições, usamos a separação de variáveis e expandimos a condição inicial em uma série de cossenos (pois as condições de Neumann implicam em soluções com simetria par). A solução geral fica:
Onde os coeficientes são determinados pela condição inicial.

Passo 5

Calculando os coeficientes através da expansão em série de Fourier, encontramos que:
E os outros coeficientes são obtidos integrando a condição inicial contra os termos da série. Após esses cálculos, a expressão completa para é:

Resposta

A temperatura na barra é dada por

Exercícios relacionados

Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
f) .
Calcule a integral dupla. , onde .
Seja a regiāo do plano delimitada por e pelo eixo . Determine a integral dupla .