Considere uma barra de com 40 cm de comprimento cuja distribuição de temperatura inicial
é
. Suponha que
e que ambas as extremidades da barra estão isoladas.
(a) Encontre a temperatura
.
é
(a) Encontre a temperatura
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a temperatura
em uma barra de 40 cm de comprimento. A distribuição inicial de temperatura é dada por
para
. Além disso, sabemos que
e que as extremidades da barra estão isoladas, ou seja, não há troca de calor nessas pontas. Para resolver isso, vamos usar a equação do calor com condições de contorno de Neumann (isoladas).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do calor unidimensional:
Como
, fica:
Essa equação descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço na barra.
Passo 3
As condições de contorno são de Neumann, o que significa que a derivada espacial da temperatura nas extremidades é zero:
Isso indica que não há fluxo de calor nas pontas da barra.
Passo 4
Agora, para resolver a equação do calor com essas condições, usamos a separação de variáveis e expandimos a condição inicial
em uma série de cossenos (pois as condições de Neumann implicam em soluções com simetria par). A solução geral fica:
Onde os coeficientes
são determinados pela condição inicial.
Passo 5
Calculando os coeficientes
através da expansão em série de Fourier, encontramos que:
E os outros coeficientes
são obtidos integrando a condição inicial contra os termos da série. Após esses cálculos, a expressão completa para
é:
Resposta
A temperatura na barra é dada por
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Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
f) .
f)
Calcule a integral dupla.
, onde
.
Seja
a regiāo do plano delimitada por
e pelo eixo
. Determine a integral dupla
.