Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para a gente identificar quais das funções dadas são contínuas e explicar o porquê. A função que temos é:
Ela está definida para todo número real
, exceto quando
e
. Para resolver isso, a gente vai analisar a continuidade de cada componente dessa função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função:
Aqui,
representa o valor absoluto de
. A gente sabe que
é sempre positivo, exceto quando
, mas como
não está no domínio da função, tudo bem. Simplificando, podemos ver que:
- Para
, - Para
,
Então,
basicamente “mata” o valor de
e deixa só o sinal. Isso significa que
é uma função constante, mas com um “pulo” em
, que já não está no domínio. Então, dentro do domínio dado, essa função é contínua.
Passo 3
Agora vamos para a segunda componente:
Aqui, temos uma função racional onde o denominador não pode ser zero. O denominador é zero quando
, mas como
também não está no domínio, a gente não precisa se preocupar com esse ponto específico. Fora esse ponto, a função
é contínua porque é uma função racional simples sem interrupções no seu domínio.
Passo 4
Por último, temos a terceira componente:
Essa é a função identidade, que simplesmente retorna o valor de
. Funções lineares como essa são contínuas em todo o seu domínio, que no caso é
menos os pontos que já foram excluídos (
e
).
Resposta
Todas as componentes da função
são contínuas no seu domínio
. Ou seja,
,
e
são todas contínuas nos pontos onde estão definidas.
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. Para que valor de
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, onde
.
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f) .
f)