Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para a gente identificar quais das funções dadas são contínuas e explicar o porquê. A função que temos é:
Ela está definida para todo número real , exceto quando e . Para resolver isso, a gente vai analisar a continuidade de cada componente dessa função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função:
Aqui, representa o valor absoluto de . A gente sabe que é sempre positivo, exceto quando , mas como não está no domínio da função, tudo bem. Simplificando, podemos ver que:
  • Para ,
  • Para ,
Então, basicamente “mata” o valor de e deixa só o sinal. Isso significa que é uma função constante, mas com um “pulo” em , que já não está no domínio. Então, dentro do domínio dado, essa função é contínua.

Passo 3

Agora vamos para a segunda componente:
Aqui, temos uma função racional onde o denominador não pode ser zero. O denominador é zero quando , mas como também não está no domínio, a gente não precisa se preocupar com esse ponto específico. Fora esse ponto, a função é contínua porque é uma função racional simples sem interrupções no seu domínio.

Passo 4

Por último, temos a terceira componente:
Essa é a função identidade, que simplesmente retorna o valor de . Funções lineares como essa são contínuas em todo o seu domínio, que no caso é menos os pontos que já foram excluídos ( e ).

Resposta

Todas as componentes da função são contínuas no seu domínio . Ou seja, , e são todas contínuas nos pontos onde estão definidas.

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f) .