Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve funções homogêneas ou quase homogêneas. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções homogêneas e como podemos usar substituições para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial, ou seja, isolando
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Observamos que a equação pode ser simplificada fazendo uma substituição que torne a equação homogênea. Vamos usar a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando a parte da raiz:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, subtraímos
de ambos os lados para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para resolver.
Passo 6
Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos simplificar um pouco mais, se necessário, mas essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla.
, onde
.
Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
Considere uma barra de com 40 cm de comprimento cuja distribuição de temperatura inicial
é
. Suponha que
e que ambas as extremidades da barra estão isoladas.
(a) Encontre a temperatura .
é
(a) Encontre a temperatura
Seja
a regiāo do plano delimitada por
e pelo eixo
. Determine a integral dupla
.