Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve funções homogêneas ou quase homogêneas. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções homogêneas e como podemos usar substituições para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial, ou seja, isolando
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Observamos que a equação pode ser simplificada fazendo uma substituição que torne a equação homogênea. Vamos usar a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando a parte da raiz:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, subtraímos
de ambos os lados para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para resolver.
Passo 6
Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos simplificar um pouco mais, se necessário, mas essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.