Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
f) (y + raiz(xy)) dx = x dy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve funções homogêneas ou quase homogêneas. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções homogêneas e como podemos usar substituições para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial, ou seja, isolando . Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, isolamos :

Passo 3

Observamos que a equação pode ser simplificada fazendo uma substituição que torne a equação homogênea. Vamos usar a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de v e .
Derivando em relação a x:

Passo 4

Substituímos y e na equação original:
Simplificando a parte da raiz:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, subtraímos v de ambos os lados para isolar :
Dividindo ambos os lados por x:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis v e x para resolver.

Passo 6

Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
As integrais são:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original y. Lembrando que , substituímos de volta:
Podemos simplificar um pouco mais, se necessário, mas essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde C é uma constante arbitrária.

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