Calcule a integral dupla:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada por
,
e
. Isso envolve matéria de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender bem os limites de integração e como realizar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A curva
é uma parábola que abre para cima, e
é uma linha horizontal. A interseção dessas duas ocorre quando
, ou seja,
e
. Como temos
como limite, consideramos apenas
variando de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Para uma integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, para cada
entre 0 e 1,
varia de
até 1. Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. A integral de
com respeito a
é:
Aplicando os limites de
de
a 1:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Para
, fazemos uma substituição:
Deixe , então
ou
.
Deixe
Assim:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
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Escreva outras cinco integrais que são iguais a
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
.
Resolver a equação diferencial ordinária
aplicando o método de Frobenius.