Calcule a integral dupla:
é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde a região é delimitada por , e . Isso envolve matéria de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender bem os limites de integração e como realizar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma linha horizontal. A interseção dessas duas ocorre quando , ou seja, e . Como temos como limite, consideramos apenas variando de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Para uma integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Então, para cada entre 0 e 1, varia de até 1. Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . A integral de com respeito a é:
Aplicando os limites de de a 1:

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Essa integral pode ser separada em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Para , fazemos uma substituição:
Deixe , então ou .
Assim:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:

Resposta

Exercícios relacionados

Escreva outras cinco integrais que são iguais a
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções: .
Resolver a equação diferencial ordinária
aplicando o método de Frobenius.