Calcule a integral dupla:
integral duplaR x cos y d A ; R é limitada por x=0 y=x^2 e y=1 é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde a região é delimitada por , e . Isso envolve matéria de cálculo de integrais duplas, onde precisamos entender bem os limites de integração e como realizar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma linha horizontal. A interseção dessas duas ocorre quando , ou seja, e . Como temos como limite, consideramos apenas variando de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Para uma integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a integralx=0^1 integraly=x^2^1 x cos y , dy , dx e depois em relação a . Então, para cada entre 0 e 1, varia de até 1. Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral x cos y , dy = x sin y + C . A integral de x sin 1 - x sin x^2 com respeito a é:
Aplicando os limites de de a 1:

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral0^1 ( x sin 1 - x sin x^2 ) dx
Essa integral pode ser separada em duas partes:
sin 1 integral0^1 x , dx - integral0^1 x sin x^2 , dx

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
sin 1 integral0^1 x , dx = sin 1 [ x^22 ]0^1 = sin 1 ( 12 - 0 ) = sin 12
Segunda parte:
Para integral x sin x^2 , dx = 12 integral sin u , du = -12 cos u + C = -12 cos x^2 + C , fazemos uma substituição:
Deixe -12 (cos 1 - cos 0) = -12 (cos 1 - 1) = 1 - cos 12 , então ou .
Assim:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
sin 12 - 1 - cos 12 = sin 1 + cos 1 - 12

Resposta

sin 1 + cos 1 - 12

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