Escreva outras cinco integrais que são iguais a
integral0^2 integraly^1 integral0^y f(x, y, z) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla:
integral0^2 integraly^1 integral0^y f(x, y, z) , dz , dx , dy
O que a gente precisa fazer é encontrar outras cinco formas de escrever essa mesma integral, mudando a ordem de integração. Para isso, vamos usar o conceito de mudança de ordem de integração em integrais múltiplas. Basicamente, estamos reorganizando os limites de integração para integrar em uma ordem diferente, mas cobrindo a mesma região no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. Os limites são:
  • integral0^1 integral0^y integraly^2 f(x, y, z) , dy , dz , dx vai de 0 a 2
  • Para cada , vai de a 1
  • Para cada e , vai de 0 a
Agora, vamos inverter a ordem para integrar primeiro em , depois em , e por último em . A nova integral fica:

Passo 3

Outra maneira é mudar a ordem para integrar primeiro em integral0^1 integral0^y integral0^2 f(x, y, z) , dx , dy , dz , depois em , e por último em . Assim, temos:

Passo 4

Vamos tentar uma terceira opção, integrando primeiro em integral0^2 integral0^y integraly^1 f(x, y, z) , dx , dz , dy , depois em , e depois em :

Passo 5

Quarta alternativa, integrando primeiro em integral0^1 integralx^2 integral0^y f(x, y, z) , dy , dz , dx , depois em , e por último em :

Passo 6

Por fim, a quinta forma, integrando primeiro em integral0^2 integral0^1 integral0^y f(x, y, z) , dx , dz , dy , depois em , e por último em :

Resposta

As cinco integrais que são iguais à integral original são:
integral0^1 integral0^y integraly^2 f(x, y, z) , dy , dz , dx
integral0^1 integral0^y integral0^2 f(x, y, z) , dx , dy , dz
integral0^2 integral0^y integraly^1 f(x, y, z) , dx , dz , dy
integral0^1 integralx^2 integral0^y f(x, y, z) , dy , dz , dx
integral0^2 integral0^1 integral0^y f(x, y, z) , dx , dz , dy

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