Calcule a integral dupla:
integral duplaR(8-x-y) d A; onde R é a região delimitada por y=x^2 e y=4.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaR(8-x-y) d A, onde a região R é delimitada pelas curvas y=x^2 e y=4. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integrais duplas e como elas funcionam na prática, além de identificar a região de integração. Para resolver, precisaremos primeiro encontrar os limites de integração definindo a região R.

Passo 2

Vamos entender as curvas que definem a nossa região. A primeira curva é y=x^2, que é uma parábola aberta para cima, e a segunda curva é y=4, que é uma linha horizontal. Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas duas curvas para determinar os limites da nossa região R.
Para encontrar as interseções, igualamos as duas funções:
x^2 = 4
Resolvendo isso, pegamos a raiz quadrada de 4:
x = 2 ou x = -2
Então, as interseções ocorrem nos pontos (2, 4) e (-2, 4). A região R é, portanto, a área entre a parábola y=x^2 e a reta y=4 no intervalo de x = -2 a x = 2.
Agora que sabemos a região, sabemos que para integrar em relação a x e y, temos os limites de y de x^2 até 4 e os limites de x de -2 até 2.

Passo 3

Montamos agora a integral dupla. A integral vai ser expressa como:
integral-2^2 integralx^2^4 (8 - x - y) , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a y, e depois em relação a x.
Vamos primeiro resolver a integral interna em y:
integralx^2^4 (8 - x - y) , dy
Para resolver essa integral:
  1. Integrando primeiro 8 - x - y em relação a y, obtemos:
(8 - x)y - y^22 g|y = x^2^y = 4
Agora, precisamos calcular isso nos limites de y = x^2 até y = 4:
2. Substituindo os limites, ficamos com:
[(8 - x)(4) - 4^22] - [(8 - x)(x^2) - (x^2)^22]
Calculando:
  • Para y = 4:
(8 - x) cdot 4 - 8 = 32 - 4x - 8 = 24 - 4x
- Para y = x^2:
(8 - x)x^2 - x^42 = 8x^2 - x^3 - x^42
Então agora, precisamos juntar tudo isso:
24 - 4x - (8x^2 - x^3 - x^42)
Simplificando isso:
24 - 4x - 8x^2 + x^3 + x^42
E agora temos a nova integral em relação a x:
integral-2^2 (24 - 4x - 8x^2 + x^3 + x^42) dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral em x. A integral será resolvida termo a termo:
integral (24) , dx - integral (4x) , dx - integral (8x^2) , dx + integral (x^3) , dx + integral (x^42) , dx
Calculando cada uma:
  1. integral (24) , dx = 24x g|-2^2 = 24(2) - 24(-2) = 48 + 48 = 96
  2. integral (4x) , dx = 2x^2 g|-2^2 = 2(4) - 2(4) = 8 - 8 = 0
  3. integral (8x^2) , dx = 83x^3 g|-2^2 = 83(8) - 83(-8) = 643 + 643 = 1283
  4. integral (x^3) , dx = 14x^4 g|-2^2 = 14(16) - 14(16) = 4 - 4 = 0
  5. integral (x^42) , dx = 110x^5 g|-2^2 = 110(32) - 110(-32) = 3210 + 3210 = 6410 = 325
Agora juntando tudo, temos:
96 - 0 - 1283 + 0 + 325
Para somar esses resultados, precisamos de um denominador comum, que é 15:
  • Transformando 96 em fração: 96 = 144015
  • Transformando -1283: -1283 = -64015
  • Transformando 325: 325 = 9615
Então, somando tudo:
144015 - 64015 + 9615 = 1440 - 640 + 9615 = 89615

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaR(8 - x - y) d A é 89615.

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