Calcule a integral dupla: ; onde é a região delimitada por e .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integrais duplas e como elas funcionam na prática, além de identificar a região de integração. Para resolver, precisaremos primeiro encontrar os limites de integração definindo a região .
Passo 2
Vamos entender as curvas que definem a nossa região. A primeira curva é , que é uma parábola aberta para cima, e a segunda curva é , que é uma linha horizontal. Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas duas curvas para determinar os limites da nossa região .
Para encontrar as interseções, igualamos as duas funções:
Resolvendo isso, pegamos a raiz quadrada de 4:
Então, as interseções ocorrem nos pontos e . A região é, portanto, a área entre a parábola e a reta no intervalo de a .
Agora que sabemos a região, sabemos que para integrar em relação a e , temos os limites de de até 4 e os limites de de até 2.
Passo 3
Montamos agora a integral dupla. A integral vai ser expressa como:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , e depois em relação a .
Vamos primeiro resolver a integral interna em :
Para resolver essa integral:
Integrando primeiro em relação a , obtemos:
Agora, precisamos calcular isso nos limites de até :
2. Substituindo os limites, ficamos com:
Calculando:
Para :
- Para :
Então agora, precisamos juntar tudo isso:
Simplificando isso:
E agora temos a nova integral em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral em . A integral será resolvida termo a termo:
Calculando cada uma:
Agora juntando tudo, temos:
Para somar esses resultados, precisamos de um denominador comum, que é 15: