Determine e faça o esboço do domínio da função em cada item:
f(x, y)=ln (9-x^2-9 y^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve uma função logarítmica! A função que temos aqui é f(x, y) = ln(9 - x^2 - 9y^2). O que precisamos entender é que a função logarítmica só é definida para números positivos. Por isso, o que está dentro do logaritmo (neste caso, 9 - x^2 - 9y^2) precisa ser maior que zero. Então, nosso objetivo é encontrar os valores de x e y que fazem essa condição ser verdadeira.

Passo 2

Agora, vamos começar a resolver a condição para ter a função definida. Precisamos que:
9 - x^2 - 9y^2 > 0
Reorganizando isso, podemos somar x^2 + 9y^2 em ambos os lados:
9 > x^2 + 9y^2
Isso significa que estamos buscando os valores de x e y que satisfazem essa inequação.

Passo 3

Para entender melhor, é legal reescrever essa inequação em uma forma que nos ajude a visualizar. Podemos dividir tudo por 9:
1 > x^29 + y^2
Aqui, se somarmos a y^2, fica claro que isso se assemelha à equação de uma elipse. Se a gente inverter os lados, podemos escrever como:
x^29 + y^2 < 1
Esse formato mostra que a função f(x, y) é definida dentro da elipse centrada na origem (ponto (0,0)), onde o semi-eixo maior é 3 (porque raiz9=3) ao longo do eixo x e o semi-eixo menor é 1 ao longo do eixo y.

Resposta

O domínio da função é a região dentro da elipse definida pela inequação x^29 + y^2 < 1.

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