É convergente ou divergente? Justifique
a)

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria, , e precisamos determinar se essa integral é convergente ou divergente. O conteúdo que estamos trabalhando aqui envolve o estudo de integrais impróprias e a noção de convergência. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Uma integral é chamada de convergente se seu resultado é um número real finito. Já se o resultado for infinito ou a integral não existir, chamamos de divergente. Para analisar a integral em questão, precisamos observar como a função se comporta para valores grandes de .
Podemos notar que conforme cresce, o oscila entre -1 e 1, o que significa que a função oscila também, mas o denominador cresce sem limites. Isso faz com que a amplitude das oscilações da função diminua.

Passo 3

Uma boa abordagem para determinar a convergência é utilizar o teste da comparação. Vamos comparar a nossa função com uma função que sabemos que é convergente. Sabemos que para valores grandes de , podemos afirmar que:
Agora, a integral é uma integral que sabemos que diverge. Mas, ao invés de comparar diretamente com essa função, podemos usar o fato de que a integral da função é conhecida e definida. O que podemos concluir na verdade é que a integral de converge.

Resposta

A integral é convergente.

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla:
; onde é a região delimitada por e .
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.
36. O cilindro e a superfície
Calcule a integral.
Resolva as seguintes integrais: