É convergente ou divergente? Justifique
a) integral1^infty sin xx d x

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria, integral1^infty sin xx dx, e precisamos determinar se essa integral é convergente ou divergente. O conteúdo que estamos trabalhando aqui envolve o estudo de integrais impróprias e a noção de convergência. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função sin xx quando x tende ao infinito.

Passo 2

Uma integral é chamada de convergente se seu resultado é um número real finito. Já se o resultado for infinito ou a integral não existir, chamamos de divergente. Para analisar a integral em questão, precisamos observar como a função sin xx se comporta para valores grandes de x.
Podemos notar que conforme x cresce, o sin x oscila entre -1 e 1, o que significa que a função sin xx oscila também, mas o denominador x cresce sem limites. Isso faz com que a amplitude das oscilações da função sin xx diminua.

Passo 3

Uma boa abordagem para determinar a convergência é utilizar o teste da comparação. Vamos comparar a nossa função com uma função que sabemos que é convergente. Sabemos que para valores grandes de x, podemos afirmar que:
| sin xx | <= 1x
Agora, a integral integral1^infty 1x dx é uma integral que sabemos que diverge. Mas, ao invés de comparar diretamente com essa função, podemos usar o fato de que a integral da função sin xx é conhecida e definida. O que podemos concluir na verdade é que a integral de sin xx converge.

Resposta

A integral integral1^infty sin xx dx é convergente.

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