Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.
36. O cilindro
e a superfície
36. O cilindro
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies: um cilindro definido pela equação
e uma superfície que é um paraboloide, definida pela equação
. A tarefa aqui é encontrar a função vetorial que representa a curva resultante da interseção dessas duas superfícies. Para isso, vamos trabalhar com coordenadas e ver como essas superfícies se comportam juntas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação do cilindro
. Essa é a equação de um cilindro que se estende ao longo do eixo
. O raio do cilindro é 2, já que
e
devem satisfazer essa equação que simula um círculo de raio 2 no plano xy.
Agora, vamos expressar
e
em termos de um parâmetro. Uma maneira comum de fazer isso é usando a parametrização trigonométrica:
Aqui,
varia de
a
, o que vai nos dar todos os pontos no círculo do cilindro. Agora que temos
e
, podemos usar essas expressões na equação da superfície
para encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na fórmula para
:
E sabemos que
pode ser simplificado usando a identidade
:
Passo 4
Então, agora temos as parametrizações completas:
Essas expressões nos dão a curva da interseção das duas superfícies.
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção das superfícies é dada por:
onde o parâmetro
varia de
a
.
Exercícios relacionados
Determine e faça o esboço do domínio da função em cada item:
;
Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro dado
.
Calcule a integral dupla:
; onde
é a região delimitada por
e
.
É convergente ou divergente? Justifique
a)
a)