Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.
36. O cilindro e a superfície

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies: um cilindro definido pela equação e uma superfície que é um paraboloide, definida pela equação . A tarefa aqui é encontrar a função vetorial que representa a curva resultante da interseção dessas duas superfícies. Para isso, vamos trabalhar com coordenadas e ver como essas superfícies se comportam juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação do cilindro . Essa é a equação de um cilindro que se estende ao longo do eixo . O raio do cilindro é 2, já que e devem satisfazer essa equação que simula um círculo de raio 2 no plano xy.
Agora, vamos expressar e em termos de um parâmetro. Uma maneira comum de fazer isso é usando a parametrização trigonométrica:
Aqui, varia de a , o que vai nos dar todos os pontos no círculo do cilindro. Agora que temos e , podemos usar essas expressões na equação da superfície para encontrar .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na fórmula para :
E sabemos que pode ser simplificado usando a identidade :

Passo 4

Então, agora temos as parametrizações completas:
Essas expressões nos dão a curva da interseção das duas superfícies.

Resposta

A função vetorial que representa a curva de interseção das superfícies é dada por:
onde o parâmetro varia de a .

Exercícios relacionados

Determine e faça o esboço do domínio da função em cada item:
;
Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado .
Calcule a integral dupla:
; onde é a região delimitada por e .
É convergente ou divergente? Justifique
a)