Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.
36. O cilindro x^2+y^2=4 e a superfície z=x y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies: um cilindro definido pela equação x^2+y^2=4 e uma superfície que é um paraboloide, definida pela equação z=xy. A tarefa aqui é encontrar a função vetorial que representa a curva resultante da interseção dessas duas superfícies. Para isso, vamos trabalhar com coordenadas e ver como essas superfícies se comportam juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação do cilindro x^2+y^2=4. Essa é a equação de um cilindro que se estende ao longo do eixo z. O raio do cilindro é 2, já que x e y devem satisfazer essa equação que simula um círculo de raio 2 no plano xy.
Agora, vamos expressar x e y em termos de um parâmetro. Uma maneira comum de fazer isso é usando a parametrização trigonométrica:
  • x = 2cos(t)
  • y = 2sin(t)
Aqui, t varia de 0 a 2pi, o que vai nos dar todos os pontos no círculo do cilindro. Agora que temos x e y, podemos usar essas expressões na equação da superfície z=xy para encontrar z.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na fórmula para z:
z = xy = (2cos(t))(2sin(t)) = 4cos(t)sin(t)
E sabemos que 4cos(t)sin(t) pode ser simplificado usando a identidade sin(2t) = 2sin(t)cos(t):
z = 2sin(2t)

Passo 4

Então, agora temos as parametrizações completas:
  • x = 2cos(t)
  • y = 2sin(t)
  • z = 2sin(2t)
Essas expressões nos dão a curva da interseção das duas superfícies.

Resposta

A função vetorial que representa a curva de interseção das superfícies é dada por:
r(t) = lang<= 2cos(t), 2sin(t), 2sin(2t) rang<=
onde o parâmetro t varia de 0 a 2pi.

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