Calcule a integral dupla:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . O enunciado nos dá a região onde e . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender os limites de integração e como configurar a integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Para cada valor de entre 0 e 2, varia de até . Isso forma uma espécie de triângulo simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla usando os limites fornecidos. A integral fica:
Aqui, integramos primeiro, mantendo fixo, e depois integramos .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A integral de é , então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar a constante para fora:
A integral de é , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Os pontos estão numa curva e em qualquer ponto da curva . Ache uma equação da curva. (Sugestão: faça e obtenha uma equação envolvendo e uma constante arbitrária . Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo e . Usando as condições, calcule e .)
Encontre .
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