Calcule a integral dupla: integral duplaR x^3 y^2 d A ; R=(x, y) ; 0 <= x <= 2 ;-x <= y <= x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . O enunciado nos dá a região onde e . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender os limites de integração e como configurar a integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Para cada valor de entre 0 e 2, varia de até . Isso forma uma espécie de triângulo simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla usando os limites fornecidos. A integral fica:
integralx=0^2 integraly=-x^x x^3 y^2 , dy , dx
Aqui, integramos primeiro, mantendo fixo, e depois integramos .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral-x^x x^3 y^2 , dy :
x^3 integral-x^x y^2 , dy
Como x^3 [ y^33 ]-x^x = x^3 ( x^33 - (-x)^33 ) é constante em relação a x^3 ( x^33 + x^33 ) = x^3 ( 2x^33 ) = 2x^63 , podemos tirá-lo da integral:
A integral de é , então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 2x^63 , dx
Podemos tirar a constante 23 integral0^2 x^6 , dx para fora:
23 [ x^77 ]0^2 = 23 ( 2^77 - 0 ) = 23 cdot 1287 = 25621
A integral de é , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados