Calcule a integral dupla:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. O enunciado nos dá a região
onde
e
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender os limites de integração e como configurar a integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de
até
. Isso forma uma espécie de triângulo simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla usando os limites fornecidos. A integral fica:
Aqui, integramos
primeiro, mantendo
fixo, e depois integramos
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
é
, então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar a constante
para fora:
A integral de
é
, então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Os pontos
estão numa curva e em qualquer ponto
da curva
. Ache uma equação da curva. (Sugestão: faça
e obtenha uma equação envolvendo
e uma constante arbitrária
. Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo
e
. Usando as condições, calcule
e
.)
Encontre
.
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