integral 2raiz[3]x d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício que temos é uma integral indefinida, que é basicamente uma forma de encontrar a função que, quando derivada, nos dá a função que temos. O conteúdo aqui envolve integrais e algumas propriedades de potências. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como manipular a expressão que temos.

Passo 2

Primeiro, podemos reescrever a função dentro da integral para facilitar nossa vida. Temos 2raiz[3]x, e sabemos que a raiz cúbica de x pode ser expressa como x^1/3. Portanto, raiz[3]x = x^1/3 e podemos reescrever a nossa integral como:
integral 2x^1/3 dx
Agora, dividindo 2 por x^1/3, isto pode ser reescrito como:
integral 2 cdot x^-1/3 dx
Aqui, usamos a propriedade das potências, onde a/b^n = a cdot b^-n.

Passo 3

Agora que reescrevemos a integral, podemos aplicar a regra de integração para potências. A fórmula para integrar x^n é:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração e n neq -1. No nosso caso, temos n = -13, então vamos aplicar essa regra:
integral 2 cdot x^-1/3 dx = 2 cdot x^(-1/3)+1(-1/3)+1 + C
Simplificando o expoente, temos:
(-1/3)+1 = 23
Portanto, agora nossa integral fica assim:
2 cdot x^2/32/3 + C

Passo 4

Para simplificar ainda mais, precisamos estruturar a fração:
2 cdot x^2/32/3 = 2 cdot x^2/3 cdot 32 = 3x^2/3
Agora está tudo organizado e conseguimos encontrar a integral!

Resposta

A integral indefinida é:
integral 2raiz[3]x dx = 3x^2/3 + C

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