integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x-y) d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é tipo uma soma em três dimensões. Para isso, vamos precisar conhecer os limites de integração e aplicar as integrais uma de cada vez. A expressão que temos é:
integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x - y) , dx , dy , dz
Vamos por partes para entender melhor e resolver tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^y-z (2x - y) , dx. Nossa função para integrar é , e os limites de vão de 0 até . A integral fica assim:
Vamos calcular isso.

Passo 3

Integrando integral (2x - y) , dx = x^2 - yx + C em relação a [ (y - z)^2 - y(y - z) ] - [ 0 - 0 ] = (y - z)^2 - y(y - z), temos:
(y - z)^2 - y(y - z) = y^2 - 2yz + z^2 - y^2 + yz = -yz + z^2
Agora aplicamos os limites de 0 a -yz + z^2:
Simplificando:
Então, a integral em relação a resulta em:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a integral0^z^2 (-yz + z^2) , dy, com os limites de 0 a :
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Integrando integral (-yz + z^2) , dy = -12yz^2 + z^2y + C em relação a [ -12z^2 cdot z^2 + z^2 cdot z^2 ] - [ 0 + 0 ] = -12z^4 + z^4 = 12z^4, temos:
12z^4
Aplicando os limites de 0 a :
Então, a integral em relação a resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^2 12z^4 , dz, com os limites de 0 a 2:
Vamos calcular essa última integral.

Passo 7

Integrando 12 cdot z^55 + C = z^510 + C em relação a 2^510 - 0^510 = 3210 = 165, temos:
Aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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