Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é tipo uma soma em três dimensões. Para isso, vamos precisar conhecer os limites de integração e aplicar as integrais uma de cada vez. A expressão que temos é:
Vamos por partes para entender melhor e resolver tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Nossa função para integrar é , e os limites de vão de 0 até . A integral fica assim:
Vamos calcular isso.

Passo 3

Integrando em relação a , temos:
Agora aplicamos os limites de 0 a :
Simplificando:
Então, a integral em relação a resulta em:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a , com os limites de 0 a :
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de 0 a :
Então, a integral em relação a resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a , com os limites de 0 a 2:
Vamos calcular essa última integral.

Passo 7

Integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla:
Encontre .
42.
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral: