Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é tipo uma soma em três dimensões. Para isso, vamos precisar conhecer os limites de integração e aplicar as integrais uma de cada vez. A expressão que temos é:
Vamos por partes para entender melhor e resolver tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Nossa função para integrar é
, e os limites de
vão de 0 até
. A integral fica assim:
Vamos calcular isso.
Passo 3
Integrando
em relação a
, temos:
Agora aplicamos os limites de 0 a
:
Simplificando:
Então, a integral em relação a
resulta em:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a
, com os limites de 0 a
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 5
Integrando
em relação a
, temos:
Aplicando os limites de 0 a
:
Então, a integral em relação a
resulta em:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
, com os limites de 0 a 2:
Vamos calcular essa última integral.
Passo 7
Integrando
em relação a
, temos:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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Calcule a integral dupla:
Encontre
.
42.
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral: